Dérivées successives d'une fonction composée

Tour fixer les idées, considérons la fonction

u et v étant deux fonctions de .v. On sait i69) que

dz <îz du dz dv dx du dx ' dv dx

Prenons la dérivée totale du second membre de cette égalité:

dz oz .

étant des tonctions composées, on trouve du ()v

d*z fd2z du <)-z r/rN du [ dz dhi dx2 j)k- dx dudv (i<\ dx ' du dx"

' Ô-Z du d'Z <lr\ ,lr dz d*V

dvdu dx dv* dx dx dv ofo?2

d'où, en réduisant les termes semblables,

d?z ù2z /du\z àzz dudv dH fdv\2

dœ* ~~ du2 \dœ) dudv dx dx + dv2 \dœ)

<)z d*u dz <lr ^dûdcc* ' dv dx* '

Ainsi de suite.

Fonctions implicites.

103. Cas d'une seule fonction. — Soit F(.v, y) =-0 l'équation qui définit y l'onction de x. On a (72)

ôx + ôyy=°' (1)

Appliquons à cette équation la règle des fonctions composées (69): nous aurons

Ô2F « *F ?/ L ( d*~F 4. *'F tA W + ^F „« - 0

s?-+a^y *\^+.~wyjy + dyy ~°-

d2F d2F dzF 0F

ou ^4 + 2 f4- y' + t^ yl% + y- y = ° • (2)

dx~ dxdy^ dy~ ùij

L'équation (2) donne semblablement

dx2 dx2dy \dx2dy ôxdy2 * J ùxùy

+ \Ty*dx + WJ) V + W V ■"

ou, après réduction,

^F , o ^3F , , o <>3F ,, ^F ,, <te3 T ôx2dyV "^ dxdy2V H <ty3 y f

t)2F .„ . „d2F , „ dF ■r— r- y" + 3 -y— yy ' -f — da% y dy2 y * à y

et ainsi de suite. Les équations (1), (2), (3), .. , déterminent, successivement, y', y", y'", ....

NEUBERG. — An. Inf. I. 6.