Différentielle totale. — Soit, pour fixer les idées

une fonction de trois variables indépendantes ut v, w. Si l'on donne à u, y, w les accroissements infiniment petits Azz, Ay, Azz>, y prend un accroissement Ay, que l'on peut mettre sous la forme (68)

\y = F'uA«T+F'TAp -f- F'wAmj + i\u -f s'Ar -f t"àto,

i, z', s" étant des quantités qui s'annulent avec Azz, Ay, Azy.

Les accroissements infiniment petits Azz, Ay, Azy, sont indépendants les uns des autres ; mais on convient de les considérer comme étant du ieT ordre. Alors Ay se compose d'une partie du 1er ordre,

F'uAw + F'vAî? 4- F\Air,

et d'une partie, sAzz -f- E'Ay -f- s"Au?; d'un ordre supérieur. La première partie se nomme différentielle totale dey et se désigne par dy. Pour l'uniformité de la notation on écrit aussi du, du, clw au lieu de Azz, Ay, Azy. On a donc

dy = F\du -h F\-dv -f ¥\ychv. (1)

F'udu, F'vc/y, F'wdw sont les différentielles partielles de y.

Ainsi : 1° /es différentielles des variables indépendantes sont les accroissements infiniment petits, arbitraires, de ces variables ; 2° la différentielle totale dune fonction est la somme des différentielles partielles de la fonction par rapport aux différentes variables,

La formule (1) est la moine que dans le cas où les variables u, v, w sont fonctions d'une même variable tv (70).

Exemple. — y = uv -\- vw + ivu,

■ dy = (V-p io)du -p (u -p iv)dv -f- (^ -p v) dw.

107. Différentielle d'une fonction de fonction ou d'une fonction composée. — Les règles sont les mêmes que dans le cas d'une seule variable indépendante. Soit, par exemple.

z = F(u, vf w),

u, u, w étant des fonctions de deux variables indépendantes x et y. D'après la règle des fonctions composées dans le cas d'une seule variable indépendante,

— ~' 1,' 1 y' m' J- -' >/•' -r— o ua x p * VV X I * W " X»

Z UU y -p £ VV y -p C- W?T y .

Substituons ces valeurs dans la relation

rh = % dx + % dlJ ;

nous aurons

dz = z'u(u'zdx -p ic'ydy) -f- z\(v\rtx -f- v\dy) -f- s'^îc'^djc \- w'ydy) = xr'uc/?t -|- *W*> -(- z\vdw.

Exemple- — d sm - = cos- a- = cos -•-

Ce résultat subsiste aussi bien lorsque u et y sont deux variables indépendantes que lorsqu'elles dépendent d'autres variables.

108. Différentielles totales successives. — Soit z = F(x, y) une fonction de deux variables indépendantes. Par définition (106)

La différentielle totale de dz est désignée par dzz et porte le nom de différentielle seconde de z ; on a évidemment

car dx et dy étant indépendants de x et y doivent être traités comme des constantes. Or,

d{ — ) = — r dx -f- - — — dy, dl — ) = — - — - dx -f- -r-r- dy ; \px J dx1 dxdy * \dy J dydx dy2 J

d2F dzF d2F

donc d%z = — - dx2 -}- 2 y- — c/a;^ -j- -— rfj/2.

Pour passer à la différentielle troisième, prenons la différentielle totale de chacun des termes de d2z ; il vient

^du?3 du?2<ty J ) \dx-oy dxdy2 J j

+ -^ — r-ï dx -4- — - d>/ )di/~ ^\dxdy2 ' ()j/3 ' / l/

= -, „ c/u?3 -j-3 :-Tr dx2dy -f- 3 -r — ^r dxdy2 -f- —^ c///!. du?3 du?2<ty ^ ' àrtty- ^ ' <fy3 l/

Ainsi de suite. La différentielle /i(' a pour expression sy/iibolique

le second membre est développé par la formule du binôme et le terme

est remplacé par

nhi— 1) ... (n— p -f- 1) dnF