p dxn-P<)yi> J

109. Les formules donnant dlz, d3z, ... ne sont plus applicables lorsque x et y dépendent d'autres variables. On a toujours (107)

ôF ôF

dz = — c/u? -I — — du .

du? ' dy J

Mais, si x et y sont fonctions des variables indépendantes u,v,

[d2F d2F \ ôF

d~z -— - „ dx -}- — - dy \dx 4- — d2x \dx- dxdy J J dx

. I d2F d2F \ ÔF ...

- ; dx - -, di/ \di/ - ■ d'i/.

\dxdy dy- ' j J dy

Car si x — /'(zï, y), y = ©(«, y), on a

c/j? = /"'uC^t -{- f'vdoc, dy = v\xdu -\- (o'^dv, et la différentielle totale c/-s doit comprendre les termes

dF dF

où d*# — f"nndu2 -f 2f\vdudv -f f"yvdv2, etc.

FONOT ION S IMPLICITES .

110. Dérivées partielles successives. — Soit s = /'uv, y) l'équation d'une surface. Avec les Dotations (101)

àz àz d~z dlz ô'Z

àx ^= Pi dy ' = r/' W : = r' ^/ == *' J^ = '

on a, pour les différentielles totales (106, 108),

dz = pc&c -f- #dj/, c/-^ = rdx2 -j- 2sdœdy -f- &///2.

On peut aussi remarquer les égalités

rfp =--- rofo? -f- sdy, dq — sr/o; -|- tdy.

Supposons l'équation de la surface sous la forme

et calculons les dérivées partielles /;, q, r, s, t.

En premier lieu, /) est la dérivée de z par rapport à x, y étant traité comme une constante; donc (72)

ôx + ôzp-°' . (2>

dF OF De même - — I- -r- u = 0. (3;

dy àz

Les égalités (2) et (3) déterminent /; et q.

Dérivons maintenant l'équation (2) en regardant p et z comme

fonctions delà seule variable indépendante x et en observant que

dF dF - » — sont généralement des fonctions de x et de z ; il vient

àx à

djc~ ' ~ dxdz1 àz2 x' ' d

Ù-V ,)■¥ d'F- ., dF n . .

De même, si z varie avec y seul, l'équation (2) donne

d2F â2F &2F dZF AF

ôxôy^c^P^ôxôzq + ôz^pq^ôzS = °' ^

On obtient la même égalité en dérivant, l'équation (3) dans Thypotlièse de y constant.

Vue permutation des lettres x et y donne, au lieu de l'équation (4),

d2F n d F , d2F , dF

dyz ' dydz l dz2 * ' dz v ;

Si l'on remplace p, q par leurs valeurs tirées des égalités (2) et (3), les équations (4), (5), (6) font connaître les valeurs de i\ s, t.