Différentielles totales successives. — Soit l'équation

qui définit z fonction implicite de x, y. On a trouvé (110) :

dz — pdx -\- qdy,

<)F . àF dF . dF .

ùx dz ()>/ dk,

d'où, en éliminant p et q,

dF dF , .dF .

dS^ + ^ + dF*"0- (0

Donc, la différentielle totale cfo peut se déduire de l'équation obtenue en égalant à zéro la différentielle totale de F(ac, y, s).

Pour avoir d2zy égalons à zéro la différentielle totale du premier membre de (1), z et dz étant considérés comme fonctions des variables indépendantes x et y ; il vient

d*F , , , d*F , . , <)2F . 0 , ft d2F , , n d*F . .

&C2 ' r)j/2 y ' dzz ' djfrty ^ ' <fy(te "

+ 2 H- d**» + ^~ <Pz = 0.

d?dv dz

Cette relation, si l'on remplace dz par sa valeur tirée de l'égalité (1) donne une valeur de la forme

d2z = kdx* + 2Bdxdy -f Cdyz.

Il est évident que les coefficients A, B, C sont égaux aux dérivées du second ordre r, s, t.

113. Remarque générale sur la différentiation. — Soient a\ y, . . il, v, . . des variables entre lesquelles on a l'équation F(x, y, ... u, v, ... =0. On peut toujours écrire

dF ^ .dF y . , dF h-

r-aa; + — ai/ + ... -f -r du ... —- 0. (i)

<to ày. du

quelles que soient les variables indépendantes.

Mais quand on passe aux différentielles secondes, il faut savoir quelles sont les variables indépendantes. L'équation (1)

donne

d-F ()ZF àF

S Vi dx* + 2Sf-V dxdy (- S - drx = 0. (2)

Si .y, y, ... sont les variables indépendantes et u, v, ... les variables dépendantes, on posera drx = 0, d2y = 0, ... et l'égalité (2) établira une relation entre les différentielles totales d-u, d-v, ... .

Propriétés des fonctions homogènes.

114. Définition. — Une fonction F .y, y, z, ...) est dite homogène du degré m si, pour toutes les valeurs de /,

F(tx,ty,tz, ... = 'mF(.r,y, s, ...).

Par exemple, les fonctions

sont homogènes de degré -y — ô1 U.

115. Théorème. — Les dérivées partielles d'une fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — 1 .

Convenons de désigner par F'x(tx, ty, ...), V\(lx, ty, ...), ... ce que deviennent les dérivées partielles F'x(sr, y, ...), F'y(x, y,.. ), ..., quand on y remplace x, y, ... par tx, ty, ...

Cela posé, comme on a identiquement

F(tx, ty, tz, ...) = ÉmF(a7, y, s, ...),

les dérivées des deux membres de cette égalité par rapport à x sont égales pour toutes les valeurs de t; donc

tF'x(tx3 ty, te, ..) = ^F'x(.r, y, .z, . . .) ou F'x(tx,ty,tz, ..) = e^F\(x,y,z,...);

donc F'x(.v, y, 0, ...) est une fonction homogène de degré m — 1.

116. Théorème. — La somme des dérivées partielles d'une fonction homogène, respectivement multipliées par la variable correspondante, égale le produit de la fonction par son degré.

Supposons trois variables .y, y, z. Par définition,

/ ™F{tx,ly,tz) - F(tf,y,*). (1)

Le premier membre de (1) a donc une valeur F. y y, z) indépendante de t; par suite, sa dérivée par rapport à t est nulle. Cette dérivée est

— ™^-»-iF(fc7,*^ ,)]. (2)

Si on l'égale à zéro et (pie l'on remplace / par 1, on trouve

— mF(xf ?/, g) -f xF\[x, ...) + yF'y(x, ...) -f- zF'z(x, ...) = 0. (3)

Le théorème est donc démontré.

117. Corollaires. — Les dérivées F'x(a% y, z), F'vv, r, p), F'z(a% y, z) étant des fonctions homogènes de degré m - 1, on a (116) :

(m-l)F'x=a>F^-{-yF%-{-zF'^ (m - 1) F'y = xF«yx + yF% + zF% (m - 1) F'a = xF^ + yF% + zF\z.

Ajoutons ces égalités après les avoir multipliées respectivement par x, y, z; en tenant compte de la relation

m¥ = a?F's + yF'y -f *F'Z ,

nous aurons l'identité

m(m i)p == Sa?2Fjx -f- 22œyF'lr

En général,

le second membre ayant une signification symbolique connue.

Exercices et notes.

1. Quelles sont pour # = 0ety=0 les valeurs des dérivées partielles p, q, r, s, t, déduites de l'équation

x2 -\- y2 -\- z3 — 3xyz == a3 ?

Réponse : p = q = r = t = 0, .<; = -•

2. Démontrer que les dérivées partielles/), q, ï, s, t, déduites de l'équation z— l cos x — l cos y vérifient la relation

(1 + P°)t — 2pqs 4- (1 + qz) r = Q.