n — 1) Kh J

C) L'existence des dérivées F'(x), F"(x), ... F(n~ l\x) pour la valeur x-\-h n'est pas nécessaire ; il suffit également que la dérivée F,«'(.v) existe à l'intérieur de l'intervalle {x, x -f- h), et elle pourrait même devenir infinie sans changement de signe.

On peut trouver une expression plus simple de R. A cet effet, faisons x -f- h = X, d'où /z = X — .v ; R prend la forme

R = F(X) - F(*) - ^ F'Or) - (X^|12 F" (x) - . j

Comme R s'annule pour X = x, il est naturel de poser

R = (X— a?)pp,

p étant un nombre positif et P une quantité qui dépend de x et X ; en remplaçant R par (X — x)pV dans l'égalité (S) on peut écrire

(y /rln 1 i

- ivfa-^r-T) F;n"w - (X - *)pp - °- )

Considérons maintenant la formule auxiliaire

?(*) = FiX) - F(,) - ^p F'(s) - ^^ F"(;) - ...