F11"1^) — (X — *)PP

qui ne diffère du premier membre de (4) qu'en ce que x est remplacé dans tous les termes par une variable z, excepté dans P.

Un calcul très simple donne

nj~ 1.2.3...(n— 1) Wr/»^ *>

p-r^3F^ïFF,"'«l- <5>

Cela posé, observons que les fonctions F(s), F'te), . . F^s étant continues dans l'intervalle (x, x -f- /?), il en est de même de <p(s) et la dérivée ç'(z) est unique ; de plus on a, visiblement, co(X) = 0 et, à cause de la relation (4), v(x) = 0. On peut donc appliquer le théorème de Rolle (87) et conclure que ®\z) s'annule pour une valeur de z comprise entre ^ etX-^ ^-t-/i. Représentons cette valeur par x + Q/i, 0 étant compris entre 0 et 1,

et introduisons-la dans l'expression (5) de ©' \z) ; l'égalité »'(# + û/i) 0 donnera

Comme R = (X — .t)pP = //^P, on a

R = { — ^j — FWlx + 0/' I. (6)

En portant cette valeur dans l'égalité (2), on trouve la formule (1).

119. Remarques. — I. La proposition que nous venons de démontrer est connue sous le nom de Théorème de Taylor.

R est appelé reste ou ternie complémentaire.

L'expression (6) de R a été donnée pour la première fois par Schlomilch et par Roche. Si l'on y fait /) = n ou p = l, on trouve respectivement les restes de Lagrange et de Cauchy :

R-ïtt:in-=T)Fm{x+th)-

II. Si F(.v) est pourvue d'une infinité de dérivées successives, finies et continues dans l'intervalle (.v, x -f- A)» e^ si R tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, on a, en série convergente,

F(œ + h)^ F(œ) -|- J F(œ) +.y^ PV) I" ■ ■

Tel est le cas lorsque la valeur absolue de F n (.y) est toujours inférieure à un nombre déterminé a, dans l'intervalle de x à x-\- h. En effet, si h est > i, soit ;x le pins grand nombre entier contenu dans /?, et supposons n > ;j. ; le reste de Lagrange peut prendre la forme

1 g S u.;, [- 1 n K ' ' Xeuberg. — An. inf., 1. ï

Sa valeur absolue est donc moindre que

hV- f h V-^