VI. Si le reste R tend vers zéro à mesure que n croît, on a

F(x+h) - F(x) = hF'(x) + y- F"(œ) + J^ F» + ...

Désignons F(x) par y et représentons par Ay, dy, d2y, d3y, . . l'accroissement et les différentielles de y qui correspondent à un même accroissement h de x ; alors

F(x + h) — F{œ) - A?/, hF'(x) = ch/, h°-F"(x) = d\i/, ...

et la formule précédente devient

\y = c/y -f - d2.y -f ^ f/3?/ -f ... Formule de Mac-Laurin.

120. Théorème. — Si la fonction F(xj et ses n premières dérivées sont continues dans l'intervalle (o, x), on a

F(x) = F(o) + .tF'(o) + ^"(0) + . . . + t 23 ^ F<"-»(o) -f R,

R ayant Vune des valeurs •

En effet, si, dans le théorème de Taylor, on fait x = 0 et que l'on remplace ensuite la lettre h par la lettre a*, on trouve l'égalité précédente, avec les trois valeurs de R.

121. Remarques. — I. Si R tend vers zéro à mesure que n eroît, on a, en série convergente,

F(œ) = F(o) + ocF'(o) -h 0 F'\o) + ... (1)

Cette formule, due à Mac-Laurin, sert à développer ~F(x) suivant les puissances croissantes de a*.