Posons F(.v) = ex; il vient

V<(.r) = e*, F'%œ) = r\ Fm(.r) - ^x

Ces dérivées étant continues pour toutes les valeurs de .\\ la formule de Mac-Laurin est applicable à cx. Comme

("ti - 1)

Le reste tend vers zéro, quelle que soit la valeur de x; donc pour toute valeur réelle de x, on a, en série convergente,

En faisant .v = 1 , on retrouve la série e (15).

Remarque. — En appliquant directement la formule de Mac- Laurin ou en observant que <-*x = e*la, on trouve

, [xlaf (.via)3 , ^=1+^+^ + i .2.3 h **• '

(*) Les dérivées successives <le f(x) sont

ou, si l'on fait ■ ., — t,

2tl 4/3 — Gî-

te Or, les fractions de la forme - ont pour limite zéro quand t augmente

indéfiniment, etc.