Soit F(x) = sin a. Alors

F'(-r) = cos x = sin f a? -j- - ) ,

puis

F"(#) = cos ( ^ -f ô ) = si11 («-f2t i

F(n>(a?) = sin lec -f m ^j;

F(o)=-0, F'(o)=l, F"(o) = 0, F» — — 1, ..., FW(to) = sin (Ox -f » ^ ) .

Les dérivées de sin a: étant continues pour toutes les valeurs de x, la série de Mac-Laurin donne

3 /v»5 /y»Tl /

S1" * = 1 - 1 . 2 . 3 + 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ~ • • • + 1 . 2 . 3~„ sl " (to f "§>

On en conclut le développement convergent

sm^rri3+i.2.3.4.5 --

124. Remarques. — I. Dans la série sin ,v, x est la longueur d'un arc de cercle, le rayon étant pris pour unité. Far exemple,

sin 17°= - - 3! +5! *• ' ou 3r=ygQ = 0,2967...

II. Une fonction est dite impaire, lorsque le changement de x en — x ne lait que changer le signe de sa valeur ; par exemple a5, sin a, tg a* sont des fonctions impaires. Le développement d'une fonction impaire, en série ordonnée suivant les puissances croissantes de a, ne peut renfermer que des puissances impaires de x; cette remarque se trouve confirmée par la série sin x.

On appelle fonction paire de x une fonction qui ne change pas quand on remplace a* par — x. Le développement en série d'une telle fonction ne renferme que des puissances paires de a.