On trouve aisément

COS*==1-r.2 ' 1.2.:;.l--

DÉVELOPPEMENT DE (1 -f- x)m.

126. Soit F(.v) = (1 -f- x)m, m étant nn nombre réel quelconque. Alors

Y^{x) = m(m— 1) ... (m —n+ 1)(1 -f-a?)m~n; puis

F(o) = 1 (*), F'(o) = m, F"(o) = m(m — 1), Fn)(6#) = m(m — 1) ... (m — » -f- 1) (1 + 6a?)m-ft.

Substituons ces valeurs dans la série de Mac-Laurin et dans le reste de Cauchy ; nous aurons

(l+^l+^+^-W-- + 472.3. !»-!)— ^ + K> m(in - 1) ... (m - n + 1)*»(1 - 6)-» ,

R = " n:2T3T.">-iy" ( ' '

On a vu (12) que la série

m(m — 1) l + ma; -) —r-6 — « + • • •

est divergente si | x | >1. Nous n'examinerons donc le reste R que lorsque — 1 < x < 1. Le reste de Cauchy peut être mis sous la forme

Quand il croît indéfiniment, le facteur mx est constant; le facteur

(m ~\){m- 2) „.(m — n + D .Tn-i 12.3 ..(n — 1)

qui est le terme général de la série convergente

(*) Si m est fractionnaire, nous ne considérons que la valeur arithmétique de (1 + *)■".

a pour limite zéro; le facteur , ) est inférieur a l'unité;

enfin la quantité (1 -\- ^x)m~l reste finie. Donc lim 11 = 0, et

m étant quelconque et x compris entre — 1 et -f- 1 .