vx

inférieure à l'unité et a pour limite zéro. Donc

Pour x — 1 on trouve

Supposons ensuite x compris entre 0 et — 1, exclusivement. Le reste de Cauchy, si l'on change x en — x, prend la l'or me

x Ar — O.rY1-1 v ~~ ~~ 1 — <)x \\ — Ôx)

Le facteur., ; a une valeur finie, moindre une , ; la

1 — Qx 1 — x

traction , étant moindre (pic x, sa puissance (n — 1/' peut

devenir aussi petite qu'on vent. Donc lim H — 0; par suite

l(\-oc) = --- 2— --- - .., (0<a?<l).

129. Calcul des logarithmes népériens. — On vient de trouver :

lK\-\-x)=x — — 4. — — 4. . . .

— lue

où x est compris entre 0 et 1. Pour en déduire des formules plus pratiques, ajoutons ces égalités membre à membre; il vient

Posons

l'égalité (1) devient

-, dou x = vr± ;

l{n-\-p) — hi = 2

2n+p ' %\2)i + pj t>\2n+p En prenant p = 1, on trouve

l(n -f 1) — In =-■ 2

1 +i(jL y+..

la série (2) sert à calculer les logarithmes des nombres entiers successifs. Quand n est assez grand, par exemple plus grand que 10000, on peut écrire, avec une approximation suffisante, (*)

l(n -f- 1) —ln =

Dans la formule (2), changeons n en i\z — 1, ce qui donne

2l)i — l(n -f 1) — l(n — 1) = 2 ou approximativement

I(n -f 1) — In = l)i — l(n — 1)

Ce résultat, dû à Lavernède, peut servir à calculer les différences tabulaires successives.

130. Calcul des logarithmes vulgaires. — On passe aux logarithmes vulgaires en multipliant les logarithmes népériens par le module

no 12 -j- ib

(*) L'erreur commise est moindre que

3 l(2n+ iy ' (2M- 1)

Si l'on fait n = 1, n = 4, la formule (2) (129) donne

d'où en ajoutant à la seconde égalité la première multipliée par 3 :

fô -f fâ = 6

DÉVELOPPEMENT DE ai'C tg X.

131. Le calcul des dérivées successives de arc tg x est assez compliqué ; c'est pourquoi, au lieu d'avoir recours à la formule de Mac-Laurin, nous nous servirons d'une autre méthode.

La dérivée de arc tg x est v » • Effectuant la division on

trouve