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Les deux membres de cette égalité sont respectivement les dérivées des quantités

arc tg x, x __-+__... ± —j T ,(.S),

<p(*v) désignant une fonction qui a pour dérivée ^ — ., ; ces

quantités ne diffèrent donc que par une constante (90), que l'on peut même comprendre dans la fonction ®(x). On a ainsi :

sn— 1

arc tg x = x - + -5- - •• • ± 2- r-j T ¥ (»)•

Nous rapportons cette formule à la valeur principale de arc tg x (60) ; alors le second membre doit être nul pour x -- 0, donc <p(0) = 0.

— 10S — Supposons .v > 0. On a les inégalités

c'est-à-dire

La dérivée »'(x) étant positive, la fonction »(jc) croit avec ,v, et comme elle s'annule avec x, on a

D'un autre côté, la quantité ®'(x) — x2n est la dérivée de

comme elle est négative, la fonction /' x) est décroissante : sa valeur initiale f(o) étant nulle, on a

/U\)<0, d'où o(œ) • ^p-j- Faisons maintenant croître indéfiniment n ; la fraction

n i , si Ton suppose 0 < x S 1, tend vers zéro, et à plus forte raison iim cp(rc) 0. On a donc, en série convergente,

arc tg a? = .v — -^ + -- — — j - . . . (0 < a? <C 1 ).

Ce développement s'applique aussi aux valeurs de x comprises entre 0 et — 1, inclusivement ; car arc tg | — .v) — — are tg x.