Calcul de -. — Si l'on fait x = 1, on obtient

4 3 ' 5 7 hU

Cette série, très peu convergente, est attribuée à Leibniz. Pour obtenir des formules plus pratiques, posons

■-= arc tg x arc tg w = arc tg — — •

solutions,

Cette égalité exige 'n : 1 \ elle admet une infinité de

Si l'on prend la solution x -, y .,. on trouve 4 = arc tg 2 + arc tg ;,

Cette nouvelle formule est due à Kuler.

Extension du théorème de Taylor.

133. Théorème. — Soit F(x, y) une fonction réelle de deuxvariables. Si pour toutes les valeurs de x comprises entre les nombres donnés x et x 4- h, ef /w»/' toutes celles de y comprises entre les nombres donnés y et y -|- k, la fonction et ses dérivées partielles des n premiers ordres sont continues, on a

F(»4-*,y4-*)=F(«,y)+^+*|;)F(»,y)+Jî.(A^+*A),p(*,y)+.

+ 7- v(' h- 4-V Im^//) I r( A ; I /•'. I K(.r-Î 0//,// ! M).

Dans cette formule, 0 désigne un nombre inconnu, compris

entre 0 et 1 ; la notation /? - Jf - F(.v, v) représente

V dx dy )

r)PF w dPF »(o - 1) d?F d^F

da?p ' 1 AiP-^y^ 1.2 dx*-*dy* ' '*' ' dy

Pour démontrer le théorème, nous développons par la formule de Mac-Laurin la fonction F(.v 4~ ht, y -\- kt) suivant les puissances croissantes de t, puis nous ferons t == 1 dans le résultat.

Désignons F(x -\- ht, y -f- kt) par œ(f) ; nous aurons d'abord cp(*) = f(0) + /,'(o) + A ç»(0) + ... + - ^__ . ç(^-l)(o) + 1! .

et en faisant t = 1 :

F(»+A, y+*) - »(o) + ?'(o) + SjAJ + ... + ■ fa^ + R,

Il reste à calculer cp(o), »'(o), <p"(o), .... Si l'on pose

il vient

Par conséquent, on a, en écrivant F au lieu de ~F(u, v),

., . dF rfw . c)F dv 1 d¥ . dF ' w du dt n dv dt du r <to '

dzF du , d2F <M . /d2F dw d2F ofo

... . /^F rfw , d2F dv\ , .

d*62 tf£ <h«di? cfr/ \dvdu dt ' ^2 ffà

dnF n ônF r)"F

dzen ' 1 dun~ldv n r dvn

L'hypothèse £ = 0 réduit h à a*, y à y, F(k, i?) à F(a;, y), et les dérivées de F(zz, y) aux dérivées correspondantes de F[xt y). Donc

cp(o) =F(a?,y),

î'"Xe) - (» ^ + * £)"*■(« + «A, 2/ + •*)•

En portant ces valeurs dans les égalités (1), on trouve la formule proposée.

La fonction y(t) et ses n premières dérivées ont été supposées continues dans l'intervalle (o, t ) ; comme on fait t = 1, ces conditions sont remplies si F(.\% y) et ses dérivées des n premiers

ordres sont continues pour toutes les valeurs de x, y comprises respectivement dans les intervalles (x, x |- /?), (y, y + &)•

134. Remarque. — On trouve de la môme manière et sous des conditions analogues :

R = ^ (h ~+ ...Yf(* + 0/,, y -|- 9A, ^ + 6/).

Lorsque F(a% 3*, z) est une fonction entière de degré 11 — 1, le

développement de F(.v -f- /?, y -j- A", 2 + /) suivant les puissances

de h, A, / s'arrête de lui-même à ( h -- -f- •• • ) F (a*, y, s).

135. Théorème. — Soit F(x, y) zz/ze fonction réelle. Si pour toutes les valeurs des variables appartenant respectivement aux intervalles (o, x), (o, y), la fonction et ses dérivées partielles des n premiers ordres sont continues, on a

F(*,y)=F(o.o)+(«~ + y ~j F(o, o)+±(a,~ + ...Jf(o, o)

+ - +j5=ru (-5 + -)n"F(0' 0) + s (*s + ■'•)nF(,'x• 0y)-

Ce théorème résulte immédiatement de celui de Taylor : on fait x = 0, y = 0, et on remplace ensuite h, A, par x, y. Il peut être étendu aux fonctions d'un nombre quelconque de variables.

Exercices et notes.

1. Si F(x) et ses dérivées successives sont continues dans l'intervalle (o, x), on a

Cette formule, due à Jacques Bernoulli, résulte immédiatement de celle de Tavlor : on fait h = — *\*.

On part de l'égalité 2\ 3 = \/24 = J 27 — 3

.'5. Développer en série sin'2 x et sin3 x.

~ , , ...... 9 1— cos2* . , 3 . 1 . ' ■■„

On part des égalités sin- x == - > sin3 x = - sin x sin 3.v, et

l'on remplace cos 2x, sin x, sin 3„v par leurs développements.

oc cc~