V. La série

est convergente si ni ^> 1, divergente si m = 1 ou < 1.

Si m < 0, le terme général ne tend pas vers 0. Pour m > 0,

la série rentre dans le cas douteux : le rapport r! ' l est plus

petit que 1, mais a pour limite 1.

(*) Voir à ce sujet une note de Catalan dans les C. R , 18">7, t. xlv, p. f>21 ou dans le Cours d'Analyse de Sturm, et une Note de Jauni dans la Nouvelle Correspondance, t. i, p. 121.

L'hypothèse m =» 1 donne la série harmonique. Si ni < 1. les termes de la série (5) sont plus grands que ceux de même rang de la série harmonique; la série proposée est encore divergente.

Lorsque m > 1, nous groupons les termes ainsi :

en remplaçant les ternies d'une parenthèse par le premier d'entre eux on trouve

"' ^~ 7m ^ ,jm ~~ 4m— . ' e

Les différents groupes sont doue moindres que les ternies correspondants de la progression décroissante

■gin— 1 r .pn— 1 r^iii—l ' * ' •

il en résulte que la série io) est convergente.

13. Théorème. — Une série alternée dont les ternies décroissent constamment en valeur absolue el tendent vers zéro, est convergente.

Soit la série

u\ — ui + w3 - u4 4- w5 — ?/, + ...

satisfaisant aux conditions

Wj > »2 > ^3 > m4 . . > 0, lini wn =0.

Pour établir la convergence, nous nous servons de la représentation géométrique {p.g. 1). Prenons sur l'axe (\\\ de gauche à

Fig. i.

droite, la longueur OA, = ri, ; puis, de droite à gauche la longueur A, A , n, : puis de gauche à droite, la longueur A2A3 = n : et ainsi de suite. A cause de n: < zz,, le point A2 tombe entre <) et A, ; de même, puisque n3 <^ n2, A3 tombe entre A, et

A.,, etc. Par conséquent, les points A,. A3, A- marchent de

droite à gauche ; comme ils restent toujours à la droite de A2,

ils tendent vers un point-limite L. D'autre part, les points A2, A4, A6, ... marolient de gauche à droite en restant toujours à la gauche de A, ; doue ils tendent également vers un point-limite L'. Mais deux points eonséeutifs An, An-| 1 eomprennent nécessairement les points L et L' et comme leur distance, égale à Hn-h> tend vers zéro, les deux séries de points (An A3, A5, ...) et (A.,, A4, A6, ...) tendent vers le même point-limite L. Cela posé comme

S1==OA1, S, -^0A2, S3--=OA3, ..., Sn==OAn, ..".,

la série proposée est convergente et a pour limite OL.

Remarque. — L'erreur que l'on commet en prenant S„ pour S est moindre et de même signe que le premier terme négligé.

En effet, le point L est compris entre An et An-fiî donc, suivant que n est pair ou impair,

S = OL = 0Afl ± AnL = Sn ± A„L,

ou, en désignant par 0 un nombre plus petit que l'unité.

S = Sn + (- l)n0*'n+l.

Application. — Les séries

sont convergentes. On verra que la première a pour somme le logarithme népérien de 2: la seconde, '■'-•

14. Si les termes d'une série alternée décroissent constamment vers une limite À différente de zéro, la série est indéterminée En effet, les points Aj, A3, A-, . . (/?«*. li tendent vers un point limite L, et les points A>,A4,A-, ... vers un antre point limite IV distant de L de la quantité X; en d'autres ternies, les sommes S,, Sg, S5, ... tendent vers une limite .S. et les sommes S-,, S4, S6l ... vers une autre limite S', et l'on a S — S' = X.|

Considérons par exemple la série

1 2^3 4 \ dont les termes ont pour limite 1. En écrivant

on lrou\ <•

«loue lim S->, = log nép. 2, lim S..„ hi = 1 + log nép. 2.