Soit A la vraie valeur d'une fraction ; dont les deux

termes sont infinis pour x n. On peut écrire

À — liin - ■' — h in ' —^-; y(a?) 1

la dernière fraction prenant la forme pour x = <t, on a (137i

A = lim

.; = lim ., • lmi

— A" lim

par suite

A -lin/,''"

La règle est donc la même que pour les fractions • Cependant son application immédiate est illusoire lorsque u est fini; car les fonctions f(x et a x) étant infinies pour x = h, leurs dérivées le sont également. En effet, comme /' a oo, la courbe représentative de la fonction y = f(x) a pour asymptote la droite ayant pour équation a* — n ; cette droite étant une tan-

gente dont le point de contact est à l'infini, son coefficient angulaire est égal à f'(à), d'où Ton conclut /"'(a) = oo. Même raisonnement pour f(x).

143. Remarque. — Lorsque la vraie valeur À est nulle ou infinie, on a encore l'égalité (2), niais la démonstration précédente est en défaut puisqu'on ne peut plus diviser l'égalité (1) par A.

1° Si A =a 0, considérons l'expression

f{x) ^ f{x) -h »?£(./•) cp(a?) ox

oo La dernière fraction prend la forme pour x = 0, et sa vraie

oo

valeur est m ; la règle de l'Hospital étant applicable, on a

m - lini , . - = lnn ,, ; m ;

A' (a?) on en conclut que lim - ,; ■» = 0.

2° Si A = oo, la fraction inverse ' aura nour vraie valeur

0 ; donc d'après ce qui vient d'être démontré,

Jim ' ' = 0, ou lim , . = Jb oo, pour x 0.

7 i o* /TJ