Soit y /* .viri.\>. Si /"(a) = 0, z u oo, écrivons

Il - x ' <>u .'/ = -j-'

r <• 0 oo

ce qui nous ramené aux tractions - ou 1 0 oo

Exemples. — I. (- — 2x)tgœ, pour a;

Cette expression peut être mise sous la forme

sm #) - — x

2 sin x:

comme lim .- = 1 pour z = 0, la vraie valeur cherchée est 2.

sine-

(r1 — c i |o- . pour .'■ a 1 '2a

Ecrivons celte expression ainsi

C* — C'v . TT07

sin • ~x 2(1 cos 2 a

Le second facteur, pour x = a, a la valeur 1 ; le premier facteur prenant la forme ,-> nous en dérivons les deux termes On

2ae'a trouve ainsi que la valeur cherchée est

Symbole oo — oo.

146. Soient /(.y) et y(x) deux fonctions qui croissent indéfiniment en ayant le même signe, quand x tend vers a. La différence f\x) — ®(x) peut tendre vers une limite déterminée.

Exemples. — I. — - — r » pour* x s-= G.

r x ex — 1

Cette expression étant mise sous la forme

cx — 1 — x

,r(cx — ï)

devient- • Appliquons lrf règle de l'Hospital, ou remplaçons ex

par 1 4- f -h 9 -h*-- l^a dernière méthode donne

tT\ I ?L -L. 1 4- x 4-

La vraie valeur est donc - •

II- \ \x" -j; + 2 -f V 9^2 — 2x + 7 — 5#, pour ^ = oo. Cette expression peut être écrite ainsi :

iV-> 2.y— 7

Lorsque x est suffisamment grand, les fractions , ,, ■ » () ,2

ont une valeur absolue moindre que l'unité, et on peut appliquer le développement de (1 -f- x)m (126). On trouve alors :

x — 2 (x — 2)' Sx1 ~~ Î28a? '"

ÎSx2

ÙX

zx — , (jx

et a la limite pour a* — oo : — - — - ou — , ,■

Symbole 1 , 0°, oo°.