f 3 cos x

5 |- 4 sin x

fraction réellement indéterminée pou1' x == oo.

Des fractions ' ; •

139. Supposons que les fonctions f x, y), o x,y) s'annulent pour x*— a, v __ b. si le théorème de Taylor (123) est applicable, on a :

> etc., désignant les dérivées partielles de /"(.y, -y) ou l'on remplace

da db

les variables .v, y par a, 6; par conséquent,

df kdf 1 / d-f

f{a + hyb-\-k) da ' // db r 1.2\ da2 /

•;rt-l-7/,/y-|-/ii t)cp £<*p 1 / d'z<? \

dct + hdb + 1.2V ' àaz -r—y-r-—

Faisons maintenant tendre /i et A- vers zéro d'après une loi quelconque: k

alors le rapport tend généralement vers une limite déterminée À, et

àr df

,. f'(a + h, b-\~ h da r ^ <p(a -f- A, 6 + A) 6b 6»'f

La valeur de -4 '-- » pour .v = a et y = £, varie donc avec a. Mais si

f(a-\-h,b + A) d/1 dtp

la limite de -- — ^ est -îtt'

-f(« -f- A, 6 -1- A) da db

, . df do df do Lorsque les quatre dérivées -- > T- » ., ) ' sont nulles, on a

da da do do

,. f(a -f- 7i, 6 -f- k) da" ^ ~ dadb r db2 li m

la limite cherchée dépend encore de }, à moins que les dérivées partielles du second ordre de /\u, b) ne soient proportionnelles aux dérivées correspondantes de tf(a, b). Ainsi de suite.

Exemple.

& -\- y — w — '/ — ' i)our r 1» y = 1

'zxy — oo — y

On trouve-- En conservant les notations précédentes, on a

£-2.-1, ¥-2t,-l, £-^-1, ^Sto-1,

cte ');/ r).r »v

ensuite

rJa db

Les dérivées du premier ordre de f(a, b) étant proportionnelles à celles de cp(a, 6), l'expression proposée admet une vraie valeur, qui est

df § d<p

Trouver, ponr les valeurs indiquées des variables, les vraies valeurs des expressions suivantes :

» pour x — 2.

sin (te; a?)