II. Maximum ou minimum de

m et n étant des entiers positifs.

La fonction est nulle pour x 0 et pour x == a, et elle est positive dans l'intervalle (0, a) ; donc elle admet au moins un maximum dans cet intervalle. On trouve facilement

V'i.ri xm ~l(a — x)n~\ma — [m \ »)->■}.

Les racines de l'équation F'(.v) 0 sont

ces nombres sont les seuls qui puissent rendre F(a') maximum ou minimum, mais nous devons examiner si F(.v) change de signe lorsque x variant de — oo à -f- oo traverse Tune de ces valeurs.

1° Si m est pair, le facteur a*111"1 de F'(.v) passe du négatif au positif au moment ou x passe par zéro ; les autres facteurs sont positifs pour x — 0, et conservent leur signe dans un intervalle infiniment petit i - /*, h). On en conclut que F(0) est un minimum.

Si ni est impair, xm ' ne change pas de signe dans l'intervalle ( — h, h); il en est de même de F'(.v). Donc F(0j n'est ni un maximum ni un minimum.

2° Si n est pair, le facteur (a — .y)""1 passe du positif au négatif, dans l'intervalle (a — h, a 4- /*) ; les facteurs .v" ' et nui — (ni |- n)x ont un signe constant, celui qu'ils ont pour x — n. 11 en résulte que F'(x) passe dn négatif an positif ; donc Fia) est un minimum.

Si n est impair, F(a) est une valeur stationnaire.

3° Le dernier facteur de F'(x) passe du positif au négatif, dans l'intervalle (x3 — h, x3 |- h) ; les deux autres facteurs étant positifs pour x =xz, ¥(xz) est un maximum.