F(x) = cx -f c~x -h 2 cos a
La dérivée
F'(j?) = cx — ^~x — 2 sin a;,
s'annule pour x = 0. Pour voir si cette valeur correspond à un maximum ou à un minimum, nous la portons dans la dérivée
F"{x) — cx -j- e x — 2 cos jc.
Comme F"(o) = 0, nous passons à la dérivée
F"'(a?) = ex — c~x + 2 sin a?.
Ayant F'"(o) = 0, nous calculons la dérivée
Flv(a?) = ex -f e~x -f 2 cos a?.
Or, FlV(o) > 0; donc F(o) est un minimum. L'équation F'(.v) — 0 n'a pas d'autre racine réelle que x - 0. Car, en développant ex, e x, sin «v en séries, on trouve
{ /y*o 7" /vil 1
IV. Parmi les arcs de cercle de même longueur donnée a, trouver celui qui, avec sa corde, limite une aire maximum.
Soient ABC un arc de cercle de longueur a, u l'aire du segment ABCD (fig. 11). Prenons pour variable indépendante l'angle au centre A OC = x ; nous aurons a = x . OA, et
u c= secteur OABC — triangle OAC =-a.OA ---OA sin ,»•.
En éliminant l'inconnue auxiliaire OA, on trouve
si u x
1 2oc
La dérivée de la dernière fraction est
œ(l |- cos œ) -f- 2 si n x
eos
yy /y» /y*
Le l'acteur eos r s'annule pour x = - en passant du positif au
négatif; la parenthèse et le dénominateur étant positifs pour x = -, cette valeur correspond à un maximum de u. Par conséquent, le segment cherché est un demi-cercle.
156. Fonction de deux variables liées par une équation de condition. — Soit à chercher le maximum ou le minimum de
w = F(af,y), (1)
sachant que x et y vérifient l'équation donnée
On rentre dans le cas d'une seule variable en considérant, dans Fuw y), y comme une fonction de x définie par l'égalité (2). Si on se place dans les conditions ordinaires, la dérivée totale de u par rapport à x doit être nulle, et celle du deuxième ordre est positive dans le cas d'un minimum, négative s'il y a un maximum.
Les équations (1) et (2) donnent
du
dx
d'où, en éliminant l'inconnue auxiliaire y',
du dx
Les valeurs cherchées de x et y vérifient donc les équations P'y?y ~ F'y?x = 0, f(a?,y)— 0. (4)
11 reste a déterminer le signe qu'une solution -.v, y) de ces équations donne a la dérivée ... Posons F'x»'y — F'y<f'x — '' ; alors (154)
du dx
En remplaçant y' par sa valeur tirée de (2) on obtient
d2tc dx2
Si la solution considérée rend l'expression u'xb'y — *A'f'x positive ou négative, elle correspond à un minimum ou à un maximum.
157. Applications. — I. Trouver le quadrilatère d'aire maximum, formé nuée quatre droites données a, b, c, d (fig. 12).
Le quadrilatère est déterminé si on connaît encore iin angle.
Tour plus de facilité nous introduirons deux angles opposés x
et y; ees inconnues sont liées par une équation de condition,
qu'on obtient en égalant les expressions de AC calculées dans
les deux triangles ABC, ADC. On trouve ainsi
dl -f- h'1 — 2ab eos x — c2 -f- d2 — 2cd cos y.
Soit 11 l'aire du quadrilatère ; les triangles ABC, ADC1 ayant
pour mesure 0 no sm .v, ~ ed sin y, on a
2w — aô sin .r 4- coJ sin y
Considérons y comme une l'onction de a* définie par l'équation (1). Les égalités (2) et (1) donneront
r dU 7 7 i i ■ i • i
2 = au cos x -|- c<' cos y .y , «6 sm x = c<7 sin // .// ;
d'où, en éliminant y',
o?w a£ sin (.-•; -f- !/) dx sin /y
Pour trouver le maximum ou le minimum de u, nous égalons
àzérola dérivée ; nous posons donc sin (x-\-y) = 0, d'où X +y==^,
car la nature de la question écarte les hypothèses x -]- y = 0, x -f- y = 2~. On vérifie que u est maximum pour x -\- y = - en observant que la dérivée seconde de u (154)
ah
o •- cos 0» + s/) (i -\-y) < o
pour A* + y = ~ Je l'acteur l + v'>0); donc le quadrilatère inscriptible formé avec les côtés donnés a une aire maximum.
Pour traiter le problème par une méthode élémentaire, écrivons l'équation 1 1 ainsi :
a2 + hl C2 (Ji
ab cos x ~ cd cos //, (3J
et ajoutons les égalités (2) et (3) après les avoir élevées au carre: il vient
4u2 4- 7 ia2 ~\-°2 — c~ — d'zyi '— a2b2 -J- c2gT2 — 2abcd cos (a? 4- //•
Le minimum de u a lieu si cos (x -\- y) = — 1; il est donné par l'équation \Qu* - [(ab 4- cy/)- — (a2 4- 62 — c2 — d2)2
= (a 4- 6 4- c — r/) (a -J- & - c + g?) (a - h -|- c + «0 {—a + b 4- c | rf) .
IJ. O/z donne deux points A ^ B (fig. 13), situés dans deux
Fig. i3.
milieux différents, séparés pur un plnnV. Un mobile se meut
dans le premier ni i lieu avec une vil esse uniforme a, et dans le second milieu nuée la vitesse uniforme b. On demande le chemin que ce mobile doit suivre pour se rendre de A en B dans le temps le plus court.
Menons les perpendiculaires AA', BB' sur le plan P et traçons la droite A'B'; les données de la question sont
AA' =* p, BB' =-- q, A'B' = r.
Le chemin cherché se eompose évidemment de deux droites qui se coupent sur le plan P. Il est contenu dans le plan AA'B'B ; car s'il était formé des droites AI), DB, on abaisserait DC perpendiculaire à A'B', et les droites AC, CB, perpendiculaires a DC, seraient, respectivement, plus courtes que AD, DB (*).
Soit donc ACB la trajectoire du mobile; menons NX' perpendiculaire au plan, et appelons x, y les angles ACN, BCX', dont un seul suffit pour déterminer le point C. L'équation de condition qui lie les deux inconnues x, y, se déduit des relations
r = A'C + CB', A'C == A'A tg x, CB' ■= B'B tg y ;
par conséquent
r=ptgx -f qtgy. (1)
Les droites AC, CB ont pour longueurs -> - > et puis-
cos x l'os y
qu'elles sont parcourues avec les vitesses a, 6, la durée du trajet est
acos x b cos y v '
Comme y est une fonction de x déterminée par l'égalité (1), on a
du ^p sinx g sin y p q , =
dx a cos2 a? b cos2// cos2 x cos2 y
en éliminant y1 on trouve
du jj /sin x sin// dx cos2 x \ a b
O Plus simplement, il n'y a pas plus de raison pour que la trajectoire soit située d'un côté du plan AA'B'B que de l'autre.
Le minimum de u exige . 0, donc
sm x sm y a h
Les égalités (1) et (3) font connaître se et y.
Pour confirmer que la relation (S) correspond à un minimum,
cherchons 7 , ; le facteur 0 étant traité comme une condx- cos-.v
stante (154), on trouve pour cette dérivée
p ,'cos.-)' cos,?/ , cos2a?\ a b '
ou
p /cos./' cos//y; cos~//
On voit qu'elle est positive.
