Fonction implicite. — Etant donnée l'équation

soit à trouver le maximum ou le minimum de y.

Les valeurs cherchées de x et y doivent rendre la dérivée y' nulle, infinie ou discontinue par saut brusque. En excluant le dernier cas et se rapportant à l'équation

on est conduit à résoudre les systèmes

Pour qu'une solution (a, /;^ de l'un de ces systèmes soit admissible, y' doit changer de signe lorsque x varie de a — h à a -f h. Si c'est une solution de (3), on a y' = 0; on peut recourir au signe de la dérivée y" donnée par l'équation (103)

f^x + ze% y' - 1- K !'"' + K v" - °- <°)

Dans le cas actuel, à cause de y' = 0, on a

Si y" > 0 ou < 0, la solution (a, b) correspond à un minimum ou à un maximum. Si y" = 0, on examine y'", ... (153).

Les systèmes (3) et 4) pourraient avoir une solution commune.

Cette solution donnant à r lu former.1 on cherche la vraie va-

leur de y' au moyen de l'équation (5). Pour que l'on ait y' 0 ou r'-=oo, on doit avoir, respectivement, FJJX = 0, F" - 0 (:::). Si la vraie valeur de y' est zéro, la valeur correspondante de y"

se déduit de l'équation (3) du § I0o ; on trouve

..Il XXX

.'/ - -gj,, '