II XXX I

(*) Cependant, si la solution considérée annulait à la fois F" , F", F" , il faudrait recourir à l'équation (3,i du £ 103 pour voir si la valeur correspondante de y' est 0 ou oo, etc.

Donc, zéro est un minimum de r, si Ton considère la valeur de y pour laquelle y' = 0 quand x = 0. A cause de la symétrie de l'équation proposée, zéro est un minimum de x considéré comme fonction de r, la valeur correspondante de ri étant oo,

La courbe représentée par l'équation proposée est connue sous le nom de folium de Descartes [fig. i$\ Elle a un point

Fig. 14.

double en O et une asymptote PQ; un point maximum B correspond aux valeurs b> ; O est un point minimum de la branche MO A ; les nombres (c) sont les coordonnées du point A.

160. Cas singulier du maximum ou minimum. — Soit à trouver, sur la circonférence O, un point M dont la distance au point donné A soit maximum ou minimum.

Prenons pour axes le diamètre OA et une perpendiculaire en O (fig. i5), et désignons par (a, o), [x, y) les coordonnées des Fig. i5. Fi"-. 16.

points A, M; nous aurons a rendre minimum la fonction

u = (j; — a)'2 -f- //qui, à cause de la relation xz \- y2 — r2, se réduit à

u = ce f- r2 — 2(xx.

La règle ordinaire (152) ferait poser u\ - 0, ue qui n'a pas de

sens. Elle n'est pas applicable, parée que x ne peut varier que de — a à -f- a, et que ces valeurs extrêmes de a- correspondent précisément au maximum ou au minimum de u.

Avec un changement de variable on rentre dans la règle. Ainsi , si l'on prend pour axes deux diamètres rectangulaires quelconques (fig. 16), on a en représentant par (a, b) les coordonnées de A :

u = (x — af -f- (?/ — b)'\ x2 -f- y2 = r'-\

d'où 9 u\ = x — a -f- (y — 5)y' = 0, x \ y y' = 0 ;

puis, en éliminant y',

JU *~ Ci JL/

On en conclut que les points cherchés appartiennent au diamètre OA.

On peut encore prendre pour variable l'angle MOA = «> ; alors

u = a2 -f- r2 — 2ar cos o>,

et l'équation ?z'(0 = 0 conduit à poser w = 0 ou to = -.

Fonctions de plusieurs variables indépendantes.

161. Définitions. — Considérons, pour fixer les idées, la fonction u = F(a\ y, z). On dit qu'elle est maximum (minimum) pour x - n, y = b, z = c, si F(a, />, c) est plus grande (plus petite) que toutes les valeurs que prend u pour des valeurs a\ y, z infiniment peu différentes de a, b, c. En d'autres termes, en posant

on doit avoir pour toutes les valeurs infiniment petites, positives ou négatives, de h, k, I :

lu > 0, si F(a, 6, c) est un minimum ; lu < 0, si F(a, &, c) est un maximum.