Conditions du maximum ou du minimum de u -Fia-, y

— Désignons par (.v, y) une solution du système F'x = 0, F'y =0. Pour qu'elle corresponde à un maximum ou à un minimum de u, la différence

le. = V[x -\-h,y -\- k) — F (œ, y)

doit avoir, respectivement, le signe — ou -f- pour toutes les valeurs infiniment petites de h et k. Or (133)

1 f ,,()-¥ - , 7 d2F , 7.,')2F\ , D 1.2. V &c2 to;>/ ^//V

Le signe de A?/, pour h et k suffisamment petits, est celui de

l;i quantité

dru -/r /., \-2hk l -f # \(*)

.«fx.*^» d'2F . *?

1 \ ' dx2 ^ ^ àxby ' ~dyz

a désignant le rapport . , variable qui peut passer par toutes

les valeurs de — oo à | oo. Pour que le polynôme en À ait un

(*) Ce trinôme représente bien la différentielle seconde d2u si l'on considère h et k comme étant les différentielles des variables indépendantes x, y.

\u a le signe de d'à parce que le reste R est au moins du > ordre.

signe constant, ses racines doivent être imaginaires, ce qui exige

d*F\2 d2F dzF oxoyj ox- ùy

Si la condition (1) est remplie, dlu aie signe de F"xx; donc les valeurs considérées de x et r correspondent à un minimum on à un maximum de u, suivant que F''xx > 0 ou 0. Lorsque

/d'Fy d2F ()-F \dxdyj ôx~ dy2

d-u a encore le signe de F ' pour toutes les valeurs de X, à l'exception de la valeur X] qui annule d-u. Pour qu'il y ait maximum ou minimum de », A»

doit aussi prendre le signe de F , pour X =X1. Or son signe est celui de la quantité

si celle-ci n'est pas nulle: comme il change avec celui de k, il faut que la dernière parenthèse soit nulle et que d4u ait le signe de F" . pour À = Xi> Ce cas est appelé le CcT.v douteux. *

' Lorsque les dérivées du second ordre de F(.v,yi sont nulles pour les valeurs de x et y qui annulent celles du premier ordre, on a

3! V^ dx3 àxdy oxdy2 <)i/-}j

An a donc le signe de la parenthèse ou de d?,u: comme ce signe change quand on remplace h, A* par — h, — k, il n'y a ni maximum ni minimum.

Cependant si les dérivées du troisième ordre de V(x.y) étaient nulles, \u prendrait le signe de d'u, etc.