B"2 — AA

(B'B" — ABj2 — (B"2 — AA') (B'2 — A A") < 0. (3)

Si celles-ci ont lieu, les valeurs considérées de x, y, z correspondant à un maximum ou à un minimum suivant que A < 0 ou > 0.

Si l'inégalité (3) se change en égalité, on a le cas douteux. Il existe alors un système de valeurs de À, [x annulant d~u ; pour ce système également, An devrait avoir le signe de A, ce qui exige que d3u s'annule et que d4u soit de même signe que A.

Lorsque toutes les dérivées du 2e ordre de u sont nulles, sans que celles du 3e le soient, il n'y a ni maximum ni minimum. Si celles du 3e sont nulles, on étudie le signe de d4u, etc.

166. Exemples. — I. Etant donnés dans V espace n points A15 A2, ..., An, trouver un point M qui rende maximum ou minimum la quantité

u = &J . MAi -f- a2 .MA2 -f- ... + #n.MAn, a1} a2, ... , an étant des nombres donnés.

Xeuberg — An inf., I. 10

Soient (x, y, z), (.v,, yt, 2^), (.v,,, y2, s2), ... les coordonnées rectangulaires des points M, Al5 A2, ...; nous aurons

w = SûjKj? — a?,)2 -f (y — y,)2 -h C- — -i)'2.i=> ofa = 2la1[(a? — œ^ote -f (y — ^W// + (5 — z,)dz], dru = 2(ete2 -f rfy2 -f- cfc^Sa,.

La différentielle du doit être identiquement nulle; donc

la^x — .t,) — 0, Sa^y — yj = 0, Sa^s - s^) = 0,

d'où

Sa,

la.

Supposons Saj > 0. Les valeurs de x, y, z définissent le centre de gravité des points A{, A2, ..., An pour les masses u^, n2, ..., an ; elles correspondent à un minimum de u, car d*n > 0.