DES VARIABLES ET DES FONCTIONS

l!t. On nomme variable toute quantité qui^ dans la question où on lu considère, est supposée actuellement indéterminée, en sorte qu'elle peut recevoir successivement une infinité de valeurs différentes les unes des autres.

Une constante est une quantité qui, dans la question où on la considère, est censée conserver une valeur fixe et déterminée.

Lorsque deux variables x cl y dépendent Tune de l'autre, tellement qu'en attribuant à x, par exemple, une valeur déterminée, celle de y le soit aussi, quelle que soit la nature de cette dépendance, quel que soit le système d'opérations numériques à effectuer sur la valeur donnée à x, pour calculer la valeur correspondante de y, la variable que l'on regarde comme dépendante de l'autre est dite une fonction de celle-ci.

De même, si une variable u dépend de plusieurs autres x, y, z,..., en sorte que sa valeur soit déterminée lorsqu'on donne à celles-ci des valeurs déterminées, on dit que u est une fonction de x, y, z,....

Par exemple, dans l'équation

y ==ax -*- bx^

d'une parabole déterminée, les paramètres a et 6 sont des constantes; les coordonnées x et y sont des variables, et l'ordonnée y est une fonc^ tion de l'abscisse x. Généralement, dans l'équation d'une courbe donnée, on peut considérer l'ordonnée comme une fonction de l'abscisse, et réciproquement. Enfin, les diverses expressions que fournissent l'algèbre et la trigonométrie, lorsqu'elles renferment une ou plusieurs variables X, y, z,..., sont des fonctions de celles-ci. Telles sont

log x', sin (x -H 2/), X* -f- 1/* -+- z^^ etc.

Lorsque l'on veut indiquer qu'une variable est fonction d'une seule variable x, sans préciser la nature de la liaison qui existe entr'elles, on la représente par une notation telle que

F(^)» f{^)^ 9{^)y etc.

De même, une fonction de plusieurs variables x, y, z,,.. se désignera par

F(x,y, z,...), f{x,y,z,...), (?{x,y,z,,.,), etc.

IS. Dans toute question où Ton a à considérer un système de variables,

entre lesquelles existent certaines relations définies habituellement par

des équations qui renferment ces variables, il y en a toujours une ou

plusieurs dont les valeurs peuvent être regardées comme arbitraires : on

leur donne le nom de variables indépendantes. Les autres, dont les valeurs

se trouvent déterminées par celles des premières, sont toujours des fonc-'

tions de celles-ci. Dans l'exemple de la parabole, x était la variable

indépendante, y étant regardé comme fonction de x. Trois équiations entre

cinq variables en laissent deux entièrement arbitraires : après qu'on aura

choisi celles que Ton veut ainsi regarder comme indépendantes^ les trois

autres variables seront appelées des fonctions de ces deux-là.

141. Classement des fonctions. Lorsqu'une fonction de x est exprimée immédiatement au moyen de cette variable par des signes connus, indiquant le système d'opérations h faire sur une valeur donnée de la variable pour en tirer celle de la fonction, celle-ci est dite explicite. Ainsi dans les équations

y == x' -♦- 3ax*, y = log (sin x) ,

y est une fonction explicite de x. Quand il n'en est pas ainsi, quand par exemple les deux variables xety sont liées entr'ellcs par une équation non résolue par rapport à y, on dil que y est une fonction implicite de x. C'est ce qui a lieu dans les équations •

X* -+- y* = o*, log X -4- logy = 1.

Les fonctions explicites sont algébriques ou transcendantes. Dans le premier cas, les seules opérations auxquelles la variable x soit soumise sont l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'élévation à des puissances constantes, ou indépendantes de x. Ainsi la fonction

i ax' -♦- bx* — c*x*

est algébrique, quelles que soient les valeurs des constantes a, 6, c.

Une fonction algébrique est rationnelle^ lorsqu'elle ne renferme la variable sous aucun signe d'exposant fractionnaire; sinon, elle est irrationelle y comme c'est le cas pour la fonction citée plus haut. Enfin, une fonction rationnelle est entière ou fractionnaire^ seloû que la variable

dont clic dépend ne figure nulle part comme diviseur, ou que le contraire a lieu; dans le premier cas, l'exposant le plus élevé dont la variable est affectée détermine le degré de la fonction. Ainsi

a -♦- 6x -*- ex'

est une fonction rationnelle, entière et du 3'' degré en x; la fonction

a -♦- Px -♦- yx'

est rationnelle, mais fractionnaire.

Lorsqu'une fonction explicite de x né peut être exprimée au moyen do la variable par un nombre limité de ces opérations simples indiquées pla^ haut, elle est transcendante. Telles sont

A*, tangx, log(x*), etc.

Ce qui précède s'applique sans difficulté à une fonction de plusieurs variables, en la considérant successivement comme fonction de chacun^^ d'elles.

IS. Parmi les fonctions que l'on rencontre souvent dans l'analyse, ont. en a choisi un certain nombre que l'on regarde comme irréductibles k d'autres plus simples, et dont la valeur se détermine immédiatement quand celle de la variable est donnée. On les appelle fonctions simples. Ce sont, X étant la variable,

a-^x, ax, x"*. A', sinx, cosx, tangx, cotx, etc.,

et leurs inverses

a — X, -, X", logx, arc sinx, arc cosx, arc tangx, etc.

Dans ces expressions, a désigne une constante positive ou négative, et dont la valeur numérique est quelconque; A est une constante essentiellement positive; le signe log désigne le logarithme pris dans un système à base quelconque A, la caractéristique 1. étant réservée pour indiquer le logarithme pris dans le système de Néper, dont la base est

Quant aux fonctions trigonométriques, elles supposent qu'on ait décrit un cercle avec l'unité de longueur pour rayon; qu'à partir d'une origine

déterminée, on prenne sur la circonférence de ce cercle un arc dont la longueur soit mesurée par la variable x, et sin a:, cosa;,.... désignent les lignes trigonométriques correspondantes. Les fonctions inverses arcsino:, arccosx, etc., se rapportent également à un cercle de rayon i.

Si, dans une fonction simple, on remplace la variable par une fonction d'une autre variable, on obtient une fonction (le fonction^ telles sont :

y = log(x«), y = sin(e').

Toutes les autres fonctions explicites de x sont des fonctions composées.