Racines imaginaires des équations, — Soit

un polynôme rationnel et entier en x, les coefficients a^, a,,.... ayant des valeurs réelles ou imaginaires. Si Ton attribue à x une valeur imaginaire a + Ç>[/ — j, il résulte des développements précédents que la valeur de X se réduira h une certaine quantité imaginaire

A + Bj/^,

A et B étant des quantités réelles. Or, si la valeur donnée à x est telle que l'on ait à la fois

et par conséquent A-hB|/— 1=0, on dit que aH-(3|/ — 1 est une racine de l'équation X = 0. Si (3 est nul, la racine est réelle. On démontre dans les cours d'Algèbre qu'il existe toujours n valeurs de x qui

satisfont à la condition A-t-B|/ — 1 =0, et que, si l'on désigne par

<7 -+- p y — \ l'une de ces racines, X est divisible algébriquement par

X — a — j3 (/ — 1 , c'est-à-dire que l'on a, quel que soit x,

X, désignant un polynôme rationnel et entier de degré n — i par rapport à X. Il en résulte que, les n racines de l'équation X = étant désignées par

on aura identiquement pour toute valeur de x

X=H(x-a— p/:ir)(a;— a.— pyiIT).... (x— an-i-(3n-i/^), H étant une quantité réelle ou imaginaire, mais indépendante de x.

11. Application des principes précédents» — On peut, au moyen des formules ci-dessus, résoudre facilement certains problèmes remarquables.

Proposons-nous, par exemple, d'exprimer cos m0, sin »/i0, m étant un nombre entier, au moyen des puissances de cos , sin 0. Pour cela , reprenons Téquation

cos

m0 -H |/ — 1 sin m0 = (cos -h |/ — 1 sin 0)"*,

et développons le second membre par la formule du binôme de Newton. Il viendra

cos mQ -¥■ i/ — 4 sin m0 == cos»" -♦- 1/ — 1 • m cos»""* sin —, — - — - cos»*-* sin* 9

/ — r 'ni{m—i)(m-'2) ,. . ,. w(m— l)(m— 2)(m— 3) .^ . . .

— l/— 1' . J \. ^cos'~''0sin50-+-— ^^ ,^ ^ , -^cos**-*0sin*0-t-...

D'après les principes que nous avons établis, cette égalité se décompose en deux égalités réelles, qui sont

^ ^ m(m — 1) -^ . .^ mim—iYm — 2)(m— 3) .^ . ..

cos »n9 = cos*» ^ — ^cos'»-*0sin*0H — ^ . \ , : ^ ^cos'»-*0sin*9

sin m0=m cos"*-* sm ^^^ — .-^-\. cos**"' sin' -< —

On peut les présenter sous différentes formes 0).

Le problème inverse consiste à exprimer cos"*0, sin*"0, au moyen des sinus et cosinus des multiples de 0. On y parvient comme il suit : Posons

cos -♦- |/ — 1 sin == }. , cos — j/ — 1 sin0==/ji,

(i) Voir le Cours d'analyse algébrique de Cauchy, p. 250.

Afx=i, X4-fx=:2cose, X — (z = 2i/— i sin 0.

Nous aurons donc

^^1 t f f NI •

OU, en groupant les termes également éloignés des extrêmes,

2«cos"» 6 = (X*» -♦- fx"») 4- mXfx(A«-« -♦- fx"»-*)

H l__-lX'fX«(X"»-*4-(X"»-*)4- ••••

Mais on a, diaprés la définition des quantités X, fx,

X* 4- fx*=(cos W -♦- j/^sin W) -♦- (cos W — j/^sin W) =2 cosAô,

X*fx* = i; donc enfin, en divisant par 2,

2"»'"* COS"» 9 = cos m9 -♦-mcos(m — 2)9 h — — ^ cos(m — 4) 9-t- •••

Si m est pair, le dernier terme est celui qui en a -ô* avant lui, savoir

^ m(m — 1) -f ^-^ij

si m est impair^ le dernier terme est celui qui en a — -r — avant lui; s

valeur est

(m — i)...^ÎÎL±-J

i * ^ pr W 1

• cos 0.

£q développant de la même manière, par la formule du binôme, le second membre de Téquation

(2/;^ sin e)-= (X — fx)-,

et groupant encore les termes également distants des extrêmes, on trouve de même, pour m pair

2«(|/— i)«» sin "•0 = Qr ^- fjL"») — mXfx(A"*-' -^ f^"*"')

ou bien, en raisonnant [comme plus haut.

^^ ^Vft m Mt^ JE m

( — 1)*2**-*sin^Q=co3mO-^mcos(m— 2)0 4- ^ ■cos(m — 4)0 — ».»

Si, au contraire, m est un nombre impair, on trouve

2" {[/ — i}" sin" 9=(X'" — p") — mJlp (X" - * — f*~- *)

Or, on a en général

X*— (x*=2(/— Isinite, donc

2«-*(— i)"«~sin~G=sinmô — msin(m— 2)04-^^^^^^^

-»-(— 1)» ^— r— ^sine.

Ces formules résolvent le problème proposé.