IV. MÉTHODE DES LIMITES

16. On appelle limite d'une quantité variable, une quantité fixe, dont \tB valeurs successives de la variable s'approchent indéfiniment ^ de manière que la différence entre la variable et cette quantité fixe finit par être constamment plus petite qu'une quantité donnée^ si petite qu'elle soit, sans toutefois se réduire définitivement à zéro.

Exemple : le nombre entier n recevant des valeurs de plus en plus

n "^ \ grandes, l'expression s'approche indéfiniment de l'unité, car on

peut l'écrire

et lorsque l'on fait croître indéfiniment le nombre /i, le rapport - finit

par devenir moindre que toute fraction donnée^ quelque petite qu'elle

soit, sans jamais devenir nul rigoureusement. Le rapport ,

lorsque n croit au-dessus de tout nombre donné, est donc une quantité

variable, qui a pour limite l'unité.

De même, si l'on fait la somme d'un nombre n de termes de la suite

indéfinie

2 2* 2' 2* à partir du premier, on voit sans peine qu'elle diffère de l'unité d'une

quantité égale à — , qui finit par devenir moindre qu'un nombre donné

quelconque, pour n suffisamment grand. La somme d'un nombre indéfinement croissant de termes de cette suite est donc une quantité variable qui a pour limite Funité.

De même encore, en géométrie, l'aire du cercle est la limite vers laquelle tend Paire d'un polygone régulier inscrit, dont le nombre des cdtés croit sans limite; en arithmétique, ce qu'on appelle un nombre incommensurable n'est autre chose que la limite des fractions, qui en fournissent des valeurs de plus en plus approchées, etc. Nous désignerons la limite d'une quantité variable par la notation lim. placée devant celle-ci.

Remarque. Il peut arriver qu'une variable s'approche et s'éloigne alternativement de sa limite : ainsi la fonction

sino;

si Ton suppose que x passe par toutes les valeurs de zéro à l'infini, passe par une série de valeurs alternativement positives et négatives, et elle a néanmoins pour limite zéro. Le caractère essentiel de la limite d'une variable consiste en ce que la différence entre la variable et sa limite finit par être et l'ester toujours au-dessous d'une quantité fixe, si petite qu'on l'ait choisie.

17. La méthode des limites s^appuie sur le principe suivant, qui a la valeur d'un axidme : lorsque deux variables restent constamment égales dans tous les états successifs par lesquels elles passent^ si l'une d'elles tend vers une certaine limite, Vautre tend nécessairement vers la même limite.

De là résulte ce théorème fondamental :

Considérons une équation dont les deux membres soient des fonctions des variables Xy y, z,...^ et que nous écrivons conséquemment sous la forme :

F(x, y, z,....) = Ax, y, z,....).

Concevons que les variables x, y, z,.... tendent simultanément, et d'une manière quelconque, vers des limites respectives a, 6, c,....; et désignons, d'autre part, par F (a, 6, c,....) la valeur que prend la fonction F lorsqu'on y remplace x par a, y par 6, etc.... Les fonctions F (a?, y, «,....),

fi^}}/) ^r"') auront respectivement pour limites, en général^ F{a,b,Cy....), f{(i)b,c,.,..)y et comme, en vertu du principe ci-dessus, ces limites de quantités variables constamment égales sont égales, on aura nécessairement

c'est-à-dire que la même relation qui avait lieu entre les variables x, y, 2;.... subsistera entre leurs limites a^ 6^ c^...., et qu'il suffira de remplacer dans réquation chaque variable par sa limite, pour obtenir la relation qui a lieu entre ces dernières.

Remarque. La démonstration suppose essentiellement que les fonctions F, /", lorsque x, y, z,... tendent vers leurs limites a, 6, c,..., s'approchent indéfiniment des valeurs F(o, 6, c,...), /"(o, 6, c,...) qu'elles affectent pour x=a, y = f>y etc. Cette propriété des fonctions, sur laquelle nous reviendrons plus loin, appartient généralement aux fonctions usitées dans l'analyse : si, dans un cas particulier, elle cessait 'avoir lieu, le théorème cesserait d'être applicable. Lé théorème précédent est la base de la méthode des limites, qui onsiste en ceci : pour trouver la relation qui existe entre certaines *andéurs que l'on ne sait pas comparer directement, on les regarde mme les limites d'autres grandeurs variables d'une nature plus simple, que l'on peut facilement comparer entre elles. On établit donc la itlation qui existe entre ces dernières; puis immédiatement, au moyen du théorème qui précède, on en tire la relation entre leurs limites, c'est-à-dire entre les grandeurs que l'on voulait précisément comparer. Supposons, comme exemple très-simple, que l'on cherche une relation entre le volume V, la hauteur H et la base B d'un cdne circulaire droit. Inscrivons dans le cercle de base un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés ; soient B' Taire de ce polygone, V le volume de la pyramide dont le sommet est celui du cône. On sait, par des considéralions directes, établir l'égalité

I)*autre part, on fera voir, par des raisonnements très-simples, que «i le nombre des côtés du polygone croît indéfiniment^ l'aire du polygone et le volume de la pyramide finiront par différer, respectivement, de

^ Faire du cercle et du volume du cône, de quantités moindres que toute grandeur donnée, en sorte que Ton a dans cette liypotlicse

lim.V = B, lim. V'= V.

L'équation précédente donnera donc, en vertu du théorème,

et Ton obtiendra ainsi, par la considération des limites, une relation entre des grandeurs qu'on ne pouvait comparer directement.

Autre exemple : On a vu dans la géométrie analytique que la condition de pcrpendicularité de deux droites est exprimée par Téquation

i -♦- ao' -+- (a H- o') cosy = 0,

y étant Tangle des axes coordonnés, a et a les coefficients angulaires des deux droites. Mais cette équation ne convient pas au cas où Tune des droites est parallèle h Taxe des y, car son coefficient a devient alors infini ; et il faudrait calculer directement pour ce cas le coefficient X de la perpendiculaire, si la méthode des limites ne nous permettait de le tirer de Téquation précédente. Pour cela, mettons d'abord l'équation sous la forme

- -♦- o' H- 1 1 H — j cos y = 0, a \ ^/

et concevons que la première droite tende indéfiniment à devenir parallèle à l'axe des y : la seconde tendra à lui devenir perpendiculaire, af

i a' aura pour limite X, et comme - > — ont pour limite zéro, il viendra,

en remplaçant chaque variable par sa limite,