INTÉGRATION PAR LES SÉRIES
950. Le développement d'une intégrale en série convergente repose sur un théorème que nous allons démontrer.
Soit t/o -i- Wi -♦-••• -*- Wn i -♦- ••• une série dont les termes sont fonctions continues de la variable rr, et qui est en outre convergente, pour toutes les valeurs de la variable depuis x = a:o jusqu'à x=X; et soit f(x) la somme de cette série, eii sorte que l'on aity pour toute valeur de x depuis Xo jusqu'à X,
(1) f (x) = Wo -4- Wi-«- •• -f- W»iH- Ri,,
Rn tendant vers zéro quand n devient infini. Multiplions par dx et intégrons les deux membres de cette égalité, à partir de Xo : il viendra évidemment
JX »X mX »X mX
f(x)c/x=i Uodx-^-X wirfx-i- •••-!- I i/n-idx-f-l Rncfx. Xi% Xn Xn ■ Xn Xa
Le dernier terme tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment, car il représente (216) Taire, terminée aux abscisses Xo et x, d'une courbe dont l'ordonnée Rn devient infiniment petite, quelque soit x. Il en résulte que la somme des autres termes tend indéfiniment vers l'intégrale de f (x) rfx, lorsque n croit indéfiniment, ou, en d'autres termes, que Von a le développement en série convergente
mX 0X »X mX
(2) I f(x)rfx=\ Uadx-^ l Widx-i- \ Wsdx-h«»«
La limite supérieure des intégrations, x, peut avoir une valeur quelconque depuis Xo jusqu'à X.
Il est bon d'observer que, si la série qui représente t{x) devenait divergente sans être infinie, pour certaines valeurs de x entre Xo et X, Itn ne tendrait pas vers zéro pour ces valeurs de x, mais cela n'introduirait
dans Taire de courbe I Rndx que des éléments infiniment petits, et
l'équation (2) existerait toujours.
Le développement de l'intégrale indéfinie est facile à déduire de là. On a en effet
/f(x)cfx=f f(a?)rfx-*-C, et par suite,
mX mX
(3) yf (x)rfx = C -f- \ t/odx-*-l Widx-»--«
Le développement en série convergente d'une intégrale indéfinie est donc ramené au développement de la fonction sous le signe y*.
351. On déduit encore du théorème précédent une conséquence fort utile. Si les termes d'une série convergente sont fonctions de x, leurs dérivées formeront une nouvelle série qui ne sera pas toujours convergente : mais, si elle l'est, elle aura pour somme la dérivée de la somme de la série primitive.
Car, soient F (x) la somme de la série primitive, et
celle de la série formée des dérivées de ses différents termes. En intégrant à partir d'une valeur Xo convenablement choisie, on aura, d'après le numéro précédent,
$X aX mX
f (x) rfx = \ Uodx -♦- I Ui dx -♦- •••>
et cette série convergente aura pour somme F(x) + C, puisque ses termes ne diffèrent des termes correspondants de la série primitive que par des constantes. Donc on a
f(x)da;=F(x)-t-C, f(x) = F'(x),
ce que nous voulions établir.
Comme application de cette remarque, on peut déduire Tune de Fautre par une simple différentiation, les deux séries qui représentent respectivement sin X, cosx (9i).
959. Le théorème du n<> 250 est susceptible de deux sortes d'applications très-importantes, Tune qui se rapporte aux différentielles dont Fintégrale peut être obtenue sous forme finie ; Tautre qui se rapporte aux différentielles qui ne sont pas dans ce cas.
Dans le premier cas, en développant la fonctipn sous le signe d'intégration, et appliquant le théorème, on obtient sous forme de série convergente une intégrale dont la valeur est déjà connue sous forme finie, et en égalant ces deux expressions, on est conduit à des séries nouvelles.
Par exemple, en supposant x compris entre — i et -4- i, on a
et par suite
VI j^ ) "^."^^âS 2.45 2.4.6 7
Mais on sait, d'autre part, que l'intégrale au premier membre n'est autre chose que arc sin x, sans constante, puisque cette fonction s'annulle avec X. Donc
arc sin x = x -*- ^r -=• -*- s—r -tt -^ ^ # z» "^ -♦-...,
et cette série sera convergente, comme la première, pour toute valeur de X comprise entre — 1 et -+- 1 .
Pour X = 1, on démontre (note I") que la série est encore convergente; d'autre part, la somme de cette série est fonction continue de x jusque et y compris x = 1 (85, remarque); en sorte que, x tendant vers l'unité, la limite du second membre est la somme de la série
Cette limite étant nécessairement égale à celle de arc sin x, on a
5153. On trouvera de même, x étant compris entre — 1 et -4-i,
dx x' x*^ X
d'où l'on conclura
arctgx = x — -ff--*- -r 7 -»-•••> x=M( — i, +1).
Cette formule a déjà été trouvée (95). Si x était numériquement plus
i , dz grand que l'unité, on poserait x = - , d'où dx = r, et l'on aurait
C dx C dz ^ z^ z^ z'
)i + x« Ji-t-z« 3 5 7 '
cette série étant convergente, puisque z^<^\. De là résulte l'équation
arc tgx = C- --*-— —
X 3x' Sx** 7x'
et Ton déterminera G en faisant croître indéfiniment x, ce qui donnera à la limite
954. Passons à la seconde application. Nous avons démontré au n^'âlO qu'il existe toujours une fonction de x ayant pour dérivée une fonction continue donnée, mais rien ne prouve que cette fonction intégrale soit exprimable par un nombre limité de ces opérations élémentaires que nous avons jusqu'ici introduites dans l'analyse, sous le nom de fonctions simples. En fait, il n'en est pas ainsi, et il existe un nombre illimité de différentielles dont l'intégrale n'est pas exprimable de cette manière; telle est,
par exemple, que nous avons déjà rencontrée (247).
Le but que l'on doit alors se proposer est de calculer, avec autant d'approximation qu'il est nécessaire, la valeur de l'intégrale, de manière à construire une table qui donne, pour chacune des valeurs que l'on peut attribuer à la variable x, la valeur correspondante de l'intégrale. Cela fait,
riotëgrale pourra être considérée comme une fonction connue de la variable or, tout aussi bien que ]es fonctions logarithmiques et circulaires, et pourra être introduite au même titre que ces dernières dans l'analyse; ce sera une nouvelle transcendante qui pourra servir, h son tour, à exprimer les intégrales d'autres différentielles plus compliquées, et ainsi de suite.
11 est clair que Ton de\ra choisir, pour leur appliquer ce travail, les intégrales qui, par le rôle plus important qu'elles jouent dans les applications, par le grand nombre d'autres intégrales qui en dépendent, se recommandent particulièrement h l'attention du géomètre : telles sont les transcendantes elliptiques dont nous parlerons plus loin.
Or, parmi les méthodes que l'on emploie pour calculer les valeurs approchées des intégrales, lorsque leur expression ne peut être obtenue sous forme finie, le développement de ces intégrales en séries convergentes est une des plus commodes, et le théorème du n*" 250 fournit le moyen d'effectuer ce développement dans un grand nombre de cas.
355. Prenons pour premier exemple la fonction elliptique de première espèce
•* dx
la constante k étant < i . La formule du binôme nous donne, x* étant aussi <i, la série convergente
{\ - fcV)'» = i + Uv + il^it*x* + 1^4^it«x« -4- ... ^ ' 2 2-4 2-4.6
Nous aurons donc (250)
r* dx C" dx i, r* x*dx i-5, r* x'dx
Jo|/i-xVi-A'jc' \ |/i — X» ^ h j/i — X» '^'^ Jol/i— x«
et les intégrales qui figurent dans ce développement sont toutes comprises dans celle-ci :
Sx'^c/x |/i — X»
dont nous avons donné la valeur au n» 242. En les remplaçant donc par
leurs expressions connues, nous aurons, en série convergente,
V =arcsina;-t- -k'i — g^'l — a;' + rarcsinx I
Jol/T—^*l/i — k*x* 2 \ J 2 /
H k*\ 1 x' H — I H arc sin x I
1-5.5, r xi/Ï^T^/, 5, 5.5\ i-3.5 . "| 2-46 L 6 \ 4 2-4/ 2-4.6 J
Cette équation peut être mise sous une forme plus simple : tous les termes affectes du facteur arc sin x formant, comme on le voit sans peine, une série convergente, Tenscmble des autres termes doit aussi former une série convergente (25), et le second membre de Téquation peut être regardé comme égal à la somme de ces deux séries. On écrira donc
•*. arc sin X
y- -n*« 1-5/ , 3\A* i.5 5/, 5, 3.5\fc8 "1
aycc la condition
9S6. Considérons encore l'intégrale irréductible
Je'dx —'
substituons h e* son développement
et désignons par x© une valeur de x différente de zéro. Nous aurons
f * e'dx f* rfx f * ^ i f* ^ ^ f * 1 1
I =1 hI dx-*--— -\ xrfx -»- . ^ g \ xMx-*-..-
, X , , i X* — Xo' 1 X» — Xo'
Xû ^ '1-2
xo ' ' 12 2 12.3
ou, en désignant par C la constante
e'dx ^ . 4 «• i x^
JE'xcrctce*.
Développer, sous forme finie et en séries convergentes, les valeurs des intégrales suivantes :
J,ar dx n
«• ? I» , H arctg- = 08 r-t--— TTT — TT^-
Î*l-^aB« j-j-^d., a. = M(-l, + l).
„ 1 ^ aci/2 a?» 0^ »' aï» a?"
R. — arc te =a;H — — h- — i •••
'• rrrS'^' aî = M(-l,-^l);
3 °1— -ia;«-t-aî* 5 7 11 13 17
. I dx[/ ax — a*, a; = M(0, -Ha).
R. : — ^ — .' J/ oa; — a;» -H— arc cos =a;«|/o j -—- 7-=-;— , . , )•
da;, a;» < 2.
, ^ , .. TT a; a;* a;» /a;» a;* a;' \ . / a;» a;*® œ" \
arclgaîda; „, . ..
R. (.rctgx)-J-(^l + *)l*H-(l+*^l)f-
Dëyelopper les intégrales irréductibles
fl.(l— «). / X» X^ X* \ ^, M MX
Jl. (1 -4- a?) tt^ x^ X*
r arc tg â? (te «• ar* as^ ..,,..
S. V 1 =08--+----^..., flP=M(-l,H.1).
J*arc tgacl. (l-4-a^) ^ /l A îb» /1 1 1 \ a;»
r raj"»+» »6 a:"'+»+» p(p — 1)6*
J ^ '^ L'"'*"* om-hn-4-1 1-2 o*
i'2-3 o» fn-4-3ii +
Pï-^-J' *"=*'(n'-?)
