PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES DÉFINIES

357. Nous avons montrcS au n"" 2i7 que, si la fonction f (x) est continue depuis x=Xo jusqu'à x=X, il existe une fonction F{x), également continue, dont la dérivée est f (x), et que Ion a dans ce cas la relation fondamentale

(i) l f(x)dx = F(X)-F(xo).

Cette formule sert h calculer l'intégrale définie d'une fonction, quand son intégrale indéfinie est connue, mais elle exige une précaution, lorsque la fonction F(x) est à détermination multiple : il est clair, en effet, que si la fonction admet plusieurs valeurs pour x=:Xo ou pour x=X, l'équation (i) fournira des résultats différents suivant celle de ces valeurs que l'on adoptera, tandis que le premier membre n'admet qu'une valeur. Mais les principes mêmes sur lesquels cette formule a été fondée décident la question, car ils impliquent la continuité de la fonction F(x) de Xo à X : il faudra donc, après avoir choisi la valeur F(xo), prendre pour F(X) celle des valeurs de la fonction qui se relie h F(xo) par une série continue, lorsque l'on fait varier x de Xo à X. C'est pour cette raison que nous avons (218) fixé la valeur de l'intégrale de (i-^x')~*dx, entre les limites

Oet 1, à7-

35S. La formule (1) conduit à diverses propriétés des intégrales définies. On a d'abord, par cette équation,

C "f(x)rfx = F(xo)-F(X) = — [F(X)— F(xo)] = — f f(x)c/x;

donc, si l'on renverse tes limites d'une intégrale définiCy on ne fait que changer son signe. C'est ce qui résulte d'ailleurs immédiatement de la définition même de l'intégrale définie (215).

359. La méthode par substitution s*appliquc aux intégrales définies. En effet, posons a; =9(2), et désignons par Zo, Z les valeurs de z qui correspondent respectivement à Xo, X, et qui sont déterminées par les équations

Xo = 9 (zo), X = 9 (Z).

D'après Féquation (1) •

f(x)(lx=F(X)-F(xo) = F[9(Z)]-F[9(zo)];

or, la fonction F[9(z)] ayant pour différentielle F' [9 (z)] 9' (z) rf^r = f [9 (z)] 9' (z) rfz , le dernier membre n'est autre chose que l'intégrale de cette expression entre les limites Zo et Z ; donc, on a

(2) C f(x)rfx=f f[(p(z)]9'(z)rfz.

Ainsi, lorsque Ton substitue une variable à une autre dans une intégrale définie, on doit prendre pour limites les valeurs de la nouvelle variable qui correspondent respectivement aux limites primitives.

La transformation précédente exige absolument que la fonction 9 soit continue de Za h Z, car si 9(2) variait brusquement lorsque z passe de la valeur Zq à la valeur Z, la fonction F[9(z)] éprouverait elle-même une variation brusque ; elle ne serait plus fonction continue de z^ et la différence F [9(Z)] — F [9 (zo)] ne représenterait plus l'intégrale définie

f[9(z)](p'(z)dz.

La formule (2) se déduit aussi de la notion de l'intégrale définie.

360. Il n'y a aucune difficulté à appliquer la méthode par décomposition aux intégrales définies. Ainsi l'on a, soit en partant de l'équation (1), soit en partant de la notion de l'intégrale définie,

(5)1 [f(ar)-»-9(x)-*-^(x)-*-—]rfx=i f(x)rfx-i- 1 9(x)dx-Hl ^(x)rfx.

361. L'intégration par partie s'applique de même. Soient t/ et v deux fonctions de x : de l'égalité connue

f udv =5 ut? — fvdu^

on déduit immédiatement, par Téquation (i),

(4) \ udv= wv — I vdii,

formule dans laquelle la notation

représente raccroissement de la fonction uv lorsque x passe de la valeur Xo à la valeur X, la fonction uv étant d'ailleurs supposée continue.

363. Il est souvent utile de décomposer en plusieurs parties l'intervalle compris entre les limites de l'intégrale : c'est à quoi sert le théorème suivant.

Soient Xi, Xj,. • 9 ^r» diverses valeurs de la variable comprises entre rr© et X. L'équation (i) donne

\ f(x)rfx = F(xi) — F(xo), \ f(x)dx = F(x8) — F(xi),

Jxq •'a?4

\ f(x)rfx = F(X) — F(x,),

Xf^

et, en ajoutant ces équations membre à membre^ la somme des seconds membres se réduit à F(X) — F(xo), ce qui donne l'égalité

JX /.a?! j.»8 i.X

f (x) cix = I f (x)dx -*- I f (x) dx H h I f (x) dx. djQ u^Q j;^ fCtt

Il faut remarquer que les quantités Xo, Xi,..., x„, X, ne sont pas nécessairement rangées par ordre de grandeur : la variable x pourrait être tantôt croissante, tantôt décroissante dans les intervalles, et quelques-unes des quantités Xi,..., Xn pourraient même n'être pas comprises entre les limites Xo et X, sans que la démonstration cessât de subsister. La seule condition , toujours indispensable, est que la fonction f (x) ne cesse pas d'être finie entre les limites des intégrations, et, si elle est à détermination multiple, que l'on ait soin de lui conserver la même valeur lorsque x revient aussi à une même valeur.

Le théorème précédent suffit quelquefois pour donner la valeur d'uue

intégrale définie, sans que Ton connaisse l'intégrale indéfinie de la fonction î{x)dx. Par exemple, soit l'intégrale

\ sin x^dx = I sin x^dx -*- l sin x'dx.

Changeant x en — z dans la première de ces deux intégrales, et renversant les limites, on a

I sin x^dx = I sin ( — z') dz -h \ sin x'dx J-1 h h

= — \ sin z^dz -+- I siii x^dx = 0.

5t63. Les propriétés de l'intégrale définie

f (x) dx

établies au chapitre XXV, et celles que nous venons d'exposer, supposent toujours (218) que les limites Xo et X aient des valeurs finies, et que la fonction f(x) conserve une valeur finie depuis x=Xo jusqu'à x=X. Il nous resterait à examiner ce que deviennent ces propriétés lorsque les conditions précédentes ne sont plus remplies; mais cette théorie délicate fera l'objet d'une étude spéciale. Nous nous bornerons ici à quelques principes très-simples.

i» Une intégrale prise entre les limites Xo et oo n'est autre chose que la limite vers laquelle tend l'intégrale prise de Xo à X, lorsque l'on fait croître indéfiniment X; on a donc, par définition,

(x) dx = lim \ f (x) rfx, lim X = oo .

On interprétera de même les notations

\ f (x) rfx, I f (x) dx.

â"" Quand la fonction f(x) devient infinie pour l'une des limites Xo, X, u ne prend d'abord l'intégrale que jusqu'à une valeur de x infiniment

voisine de cette limite ; on fait ensuite tendre vers zéro la différence entre cette valeur de x et la limite : la valeur vers laquelle converge l'intégrale, valeur qui peut être flnie, ou infinie, ou indéterminée, est repré-

sentée par la notation l f(x)dx. Ainsi, supposons f(X)=oo, et soit s

un infiniment petit de même signe que X — x©; on aura, par définition,

I f (x) dx = lim \ f (x) dx.

De mémo, si f(x) devenait infini pour une valeur Xi de x comprise entre Xo et X, on aurait

\ t{x)dx=lim\\ f(x)rfx+V f(x)dx,

£ et y} ayant pour limite zéro : la valeur de l'intégrale, définie par cette équation, sera, suivant les cas, finie, infinie, ou indéterminée.

Ces remarques, jointes aux précautions que nous avons indiquées dans remploi des équations (1), (2), (3), (4) et (5), suftisent pour lever les difficultés qui peuvent se rencontrer dans la plupart des applications, et pour prévenir les erreurs que Ton serait exposé à commettre.