INTÉGRALES DÉFINIES
^64. L'intégrale indéfinie d^une différentielle étant connue, Féqualion (1) fournit son intégrale définie entre les limites données. Voici quelques résultats obtenus par cette méthode.
De la formule
x**dx =
on déduit, en supposant o> — i.
a;«rfx =
De la formule
, X sin 2wtx ,
cos' mxdx = 7: H ; H C ,
on déduit
\ cos* mxdx==r:y d'où i sin* mx dx = - 3. 2 1 12
On a trouvé, a — 6 étant positif (245),
Prenant l'intégrale entre les limites et tt, et observant que la fonction circulaire est assujettie à varier d'une manière continue, on aura
rfa: • 2 TT j = - Tare tff 00 — arc tg 0] = ■
On tirera de même, de la relation
dx i X -♦- cos ©
i -4- 2x cos cp -♦- X* sin cp ^ sin cp régalité
)dx if i -h cos cp cos ©1
. — 5 = arc tg ; 1 — arc tg -r-^ 1 "h 2x cos cp -+- x' sm (p L s*" 9 ^*" ?J
OUI u/ . A 9\
= :n-r ^''c ^S t-t-tttt: = :Trr ^''ctgf tg- j:
i sin CD i
arc tg — = —
sin cp i -♦- cos cp sin cp
d*où
) i -♦- 2x cosq? -*-x' 2sincp Supposons iw et » entiers, et différents l'un de l'autre : nous aurons
I cos mx cos nxdx = ^ \ [^^^ (m -♦- n) x -*- cos (m — w) x] dx.
fsin (m -4- n) X sin (m — n) x"j^
365. On trouve immédiatement, en ayant égard à ce qui a été dit plus haut (265),
r dx n r i
\ -= i = cr' \ e-«'dx==-, a>0.
De même, si dans les formules du n*> 248
r f 1 e*' (a cos 6x -*- 6 sin bx)
\ e*' cos bxdx = — ^ r tï •+• C,
Î. , , e*' (a sin bx-^b cos 6x) e*' sin bxdx = — ^ r =-; ^ -♦- C, a* -*- 6*
on change a en — a, el si Ton regarde a comme positif, on aura facilement
e~«' cos 6xrfx = -1 — rr» I e~«' sin 6xrfx = -.
966. L'intégration par partie, appliquée aux intégrales définies, conduit à des formules de réduction semblables à celles que nous avons souvent rencontrées, mois, lorsque les limites sont convenablement choisies, beaucoup plus simples. Par exemple, Téquation
I g-air^j-n-i^/jp , , I e-«'X"~'aX
qui résulte immédiatement de l'intégration par partie, donne évidemment
\ e""«'x**~^ttx= I g-^'x^'^ax,
si n > i ; et par suite
e"^*x''-*dx= 1.2-3 •.. (w— • i)a-\
De même, la formule connue
Jx"»rfx X**"* |/i — X* m — 1 r x"*"'rfx
donne (261)
Ç x**dx m — if x^'^'rfx
Si m est pair, on tirera immédiatement de là
Ç^ x*^dx m — 1 m— 3 1 Ç dx i 5»"(m— 1) it
Jo/f^ ;r'";jr=r2-2)„j7fîî^- 2.4...m r
Si m est impair, on aura de même
en observant que
•'ol/i— X* L Jo
Considérons encore la formule du n® 255
Jrfx X 2m — 5 r dx
(ÎTxT^ "^ (2m — 2) (i -*- x«)"-* ■** 2m — 2 ) (1 + x«)"-* '
et prenons et oo pour les limites de rintëgralc. Le terme hors du signe d'intégration étant nul pour x==0, et tendant vers zéro lorsque x croît indéfiniment, nous avons
p dx 2m — S r* rfx
et cette formule de réduction nous ramène au cas où m = i (265), d'où
'^ dx 4-5 •••(2m — 5) n
,^(l-vx«)"' 2^4 •••(2m — 2) 2 En posant j/ox — x* = xz, nous avons obtenu (259)
Si les limites sont x=0, x=a, les valeurs correspondantes de z seront
z=oo et z=:0; donc, renversant les limites et changeant le signe de
rintégrale, remplaçant m par m+i dans la formule obtenue plus haut,
on aura
'"* x^^dx 4.5.-(2m — 4)
I — ■ = i^ 7ra**
lo \/ax - x« 2. 4. ••2m
Cette intégrale est souvent utile.
On trouvera, par la même méthode, suivant que m est pair ou impair.
