Considérons maintenant l'intégrale remarquable

m et n étant entiers, positifs, et n^m. Nous aurons besoin du lemme suivant : on déduit facilement des propriétés des exponentielles imaginaires (ch. IX, § 4) les formules

A ^rs /.^ . V A sin 2n9

COS0 + cos 00 4- ••• -+- cos(2n — 1)0= ^ . . ;

^ ' 2sin0

sin* n9

sin 4- sin 50 + ••• -+- sin (2n — i) = — :

sîn

La première, différentiée par rapport à 0, donne

. A ... ..A /^ -v . /« .xA 2/icos2n0sin0— sin2n6cos8 sin0 + 3sin30+... + (2n—i)sin(2n— 1)0= ^-r-jg

Faisons dans ces formules = — » m et n satisfaisant aux conditions

ci-dessus: sin2fi0 = O, cos2n0 = i, et il vient, en désignant part un

nombre entier et impair,

(a) 2 cos = 0; ((3) S sm =0;

(y) S t sin = —

.i n , mn

sin — n

Gela étant posé, décomposons en fractions simples la fraction rationnelle

en observant que les racines de l'équation 1 4-x*»=0, d'après ce que nous avons établi (n° 9, p. 11), sont, toutes comprises dans l'expression

in. y

*^ / 7 • *^ T*^"* fliX"T

cos h 1/ — ism— =e" =ze^iy^*.

iiz i désignant l'un des nomhvts impairs i, 5,... {2/i — 1), et 9< le rapport —

Or, d'après la méthode exposée pour la décomposition des fractions rationnelles, et la remarque du n° 229, les racines étant ici toutes inégales, le numérateur de la fraction correspondante à la racine ci-dossus s'obtiendra en faisant x égal à cette racine dans l'expression

sa valeur sera

à cause de la relation

g— «e^j/HT __- g— <7rï/^ — - 0QS ITT = — i .

On aura donc

ou, en multipliant haut et bas chaque terme par x — e^^iV"^--^ et appliquant la formule du cosinus en exponentielles imaginaires,

x*"-* ^i ope^Q.V^^— e(«-*)0.V^^ \ xcosmG,— cos(m— 1)9.

n a?' — 2xcos0,-*-4 n x' — 2a;cos0i-f-4

car, la fonction à décomposer étant réelle, il est évident a priori que le

coefficient de |/ — 1 est nul dans le second membre de cette égalité. Intégrons maintenant d'après la formule du n° 255 (5°), en observant encore que

cos nSi cos S< — cos (m — 1) 9f = — sin nSi sin 9„

et nous trouverons l'intégrale indéfinie

on^^^dx 4 •='••""*

ç=s — TT- S cos m^i 1. (x* — 2x cos 9^ ^- 1)

* î^*""** . f^ X — cos 9< ^

-*- - S sin m0i arc tg — :— r 1- C.

« <=i sin 9<

Cherchons ce qu*cllc devient aux deux limites x=:0 et x = Qo.Le premier groupe s^annullc pour x = 0, car 1. i est zéro; il s^annulle aussi pour X = 00 , car on peut écrire

2cosm9<l.(x*— 2xcos9f-t-i)=l.x*2cosm9i-f-2cosm9ilY 1 cos9,4--j;

le coefficient de 1. x' est nul, à cause de la formule (a); les autres termes tendent vers zéro lorsque x croit indéfiniment. Ainsi la partie de l'intégrale qui s'exprime par logarithmes est nulle aux deux limites. Quand au second groupe, observons que, pour xe=0,

X— cos9< , .. r . /^ o\l o ^

arc tg ^.^Q^ = arctg(— cot 9,)=arctg — tgf - — 9, 1 =9. — - »

et que, si Ton tient compte de la condition de continuité imposée à l'intégrale indéfinie, on aura

hK'-i^U-^C'-î)""-'"

d'où

= - 2 sin m9, 2 9,sinm9..

En vertu des formules ((3) et (y), cette équation se réduit à

i -+- X* . niTT

n sm —

Cette intégrale définie en donne une autre, aussi très-importante.

Posons

les limites d'intégration par rapport à z seront encore et oo , et la substitution nous donnera

^ i-4-z sin aTT

a ayant une valeur fractionnaire comprise entre zéro et l'unité. On s'assure facilement que l'intégrale définie, dans ces conditions, est une fonction continue du paramètre a, et comme sin an jouit de la même propriété)

on en conclut que Féquation subsiste pour toutes les valeurs de a plus grandes que zéro et plus petites que l'unitë.

nos. Le développement en. série, conformément aux principes exposés dans le chapitre précédent, fournit des valeurs indéfiniment approchées des intégrales définies. Soit, comme exemple, à déterminer

'îl(i^)rfx.

Remplaçant 1. (i + x) par la série

convergente pour toute valeur de x depuis jusqu'à 1, on aura

l 'dx=\ dx — -l xdx-^-X x'da? — - I x'dx -♦-•••

et cette série convergente donnera la valeur de Tintégrale définie aveq l'approximation voulue.

Il arrive souvent que, dans la série obtenue pour représenter une intégrale définie, on reconnait le développement d'une certaine quantité : on trouve ainsi sous forme finie Fexpression de l'intégrale définie, quoique rintégrale indéfinie demeure inconnue. Ainsi, l'on peut démontrer que

la série numérique ci-dessus a pour somme — ; on a donc

5169. Soit encore à chercher l'intégrale, entre et tt, de l'e^i^ression

X sin X dx

i -4- COS*X

£n vertu de l'équation

(4 -*- cos* x)~* = 4 — cos* X •+- cos* x — cos® x -4- • • -, et de la formule

r ' t ^ rx cos«"+* x"i^ i r ,., ,

I X sm X cos** xax = — i — rr r- -+- ^ 7 I cos*''+* x dx ,

•'0 L -Jq ^

où riutégrale indiquée au second membre est nulle comme ayant tous ses éléments deux à deux égaux et de signes contraires, on aura

(^ xsïnxdx /. i i i \

j^i-*-cos«x \ ^ ^ 7 y

Mais la série entre parenthèses a pour somme, comme on Ta vu, le quart du nombre tt. Il viendra donc

''^ xsînxdx TT*

i -f- cos* X 4

On aura de même, en développant sîn 6x,

rc-^'sinôxrfx . r* . . 6» f* , . 6» Ç^

et en remplaçant les intégrales du second membre par leurs valeurs, comprises dans la formule (n® 266)

on trouvera

Comme la formule concernant le développement d'une intégrale en série n*a été démontrée que pour le cas des limites finies, et que, en outre, la série ci-dessus n*est convergente que si le rapport 6 : a est moindre que l'unité, on voit bien que la formule obtenue n'a qu'une valeur d'induction. Cette remarque est applicable à beaucoup d'intégrales définies obtenues par le même procédé.

Exercices*

Trouver les valeurs des intégrales définies suivantes, 1 « par Tintégration indéfinie :

J dx 3r a* cos* a? H- 6* sin* as ~ 2o5

f sinxdx 1 /i -I- a\

J 1 — 2a cos a? 4- a* * V^ — *y

dx

) i — 2a COS a; 4- a* i — a*

^. V l.l/ïT«»rfaî=^H-1.2 — 2.

$i ««-t/j X— 1^ i-2...(n — 1) as*-* (i — a;)"-»rfjc =s --— 1 '- -- Q m(w-i-l)."(m-»-n— 1)

cos"* X eos mxdx:= ,?--