APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INTÉGRAL

970. Le calcul intégral s'applique avec succès à un grand nombre de problèmes importants de la géométrie : la quadrature des aires planes, la rectification des courbes, l'évaluation des volumes et des surfaces courbes, etc. £n effet, ces problèmes se ramènent facilement à la recherche de la limite d'une somme d'infiniment petits : or, en vertu d'un principe fondamental (29), on peut négliger dans chacun de ces éléments infiniment petits la partie, infiniment petite par rapport à lui-même, dont l'évaluation directe serait impossible, sans que pour cela la limite de la somme des éléments soit altérée. On obtient par là une expression très-simple de- l'élément infinitésimal de la grandeur cherchée, en fonction de l'accroissement d*one variable convenablement choisie; la limite de la somme de ces éléments prendra donc la forme d'une intégrale définie. On cherchera d'abord l'intégrale indéfinie de la fonction sous le signe/*; puis, à l'aide du théorème général du n® 257, on en déduira immédiate-

ment l'intégrale définie, et l'on aura l'expression de la grandeur que l'on voulait cfllculer.

C'cM sous ce point de vue uniforme et entièrement rigoureux que nous présenterons les diverses applications du caleul intégral à la géométrie.

§ i . QtADRATURE DES AIRES PLANER.

571. Coordonnées rectiUgnes. ^— Soit S, = f(i) l'équation d'une courbe plane BH, rapportée à des axes OX, OY se coupant sous l'angle y. Nous voulons calculer l'aire S comprise entre la courbe, l'axe des x, et deux ordonnées Afi, HP. Décomposons cette aire en segments infiniment petits par des parallèles k l'axe des }/ : chacun de ces segments, tels que mppim', peut être remplacé par le parallélogramme mpj/tj, qui n'en diffère que d'une quantité infiniment petite par rapport à ce segment (32), et qui a pour expression

«ip sin 7 . pp' = y sin y . Aa;.

La limite de la somme des aires de ces parallélogrammes sera donc rigoureusement égale k l'aire cherchée ABHP, donc

S^/tm2^siny>Ax; ou bien, si l'on se rappelle la définition de l'intégrale définie et si l'on désigne par xe, x les abscisses OA, OP,

(1) S = siny \ ydx.

Lorsque les axes sont rectangulaires, il vient simplement

(2) S j yd».

On obtient aussi ces formules en partant de l'expression de la différentielle d&, donnée au n* 141. Nous allons les appliquer à divers exemples.

tf 3. Parabole. — L'équation de la parabole rapportée à un diamétrcOX

et il la tangente OY au point où ce diamètre coupe la courbe, a la fonne y* = ^kx, ou y=ij/aÂx*.

L'aire OHP, comprise entre la courbe, l'abscisse OP^z et l'ordonnée •^P™?) aura pour expression, d'après ce qui précède,

S = i/îksiay \ a:" rfx = (/âÏ8in)'. = x», Jo *

ou encore, en vertu de l'équation de la courbe,

S = - xy sin y.

Hais le produit xy sin y représente l'aire du parallélogramme OPQM I construit sur OP et HP; l'eïre parabolique OH vaut donc les deux tiers de l'aire de ce parallélogramme.

Prolongeons l'ordonnée MP jusqu'à sa rencontre I en M' avec la courbe : on voit sans peine que turf, OPM'= surf. OPM, et par suite, que l'aire MOM' I comprise entre la parole et une corde quelconque MH' vaut les deux tiers du parallélogramme construit »ur cette corde et SUT sa flèche OP.