Cycloïde. — Les équations de cette courbe
x=:a{(ù — sina>), y = o(i — cosci)), donnent
y £lx = a' (i — COS w)* rfû).
On trouve immédiatement
(i — COS »)* rfw s= -» — 2 sin (0 + - sîn (o cos »-»•€.
Si donc on compte l'aire S de la cycloïde depuis l'origine où a)= 0,
jusqu'à rordoiiiiëe HP <jui correspond â l'angle u, on aura
S=:a* ( x'i' — Ssinu •«- -sÎDucosu V
Retranchons cette valeur de celle de l'aire du rectangle OPFG, qui est
■ 3ax ou âa*({» — sin u); le reste, qoi exprime l'aire OHFG, sera "*/ ■ \
— (w — smcdcost»); c'eslprëcisémentraire du segment AMQroniië, dans ie cercle gdnëraleur, par la parallèle MQ k la base de la cycloîdc. On a donc
surf. OHFG = surf. AHQ.
Pour u^^Sir, ou trouve S^Sira* : l'aire totale comprise entre une arcade de cycloïde et sa base est donc iquieatente d trois fois faire du cercle générateur.
S77. Cherchons l'aire comprise entre les axes coordonnés posilirs, et la courbe qui a pour équation
GT-C)
ÏÏ='-
m et n étant des constantes positives.
Tirant de l'équation la valeur de y, laquelle s'annule pour x = a, on obtient facilement
ou, en posant X'=as'' et transformant
et transformant,
s- î5 ('>'(! -»)-.fc.
Faisons, pour plus de simplicité, — = ft, -«w, et p
il viendra enfin
L*airQ demandée est donc exprimée par cette intégrale définie, à laquelle on peut d'ailleurs appliquer les réductions que comportent les différentielles binômes. On a d'abord
) (i -«- tl)f*+^+« "" "" (/X -H V) (i -4- îl)P+^ ■*■ ^ H- V J (iH- tt)f*+^'
et
Observant d'ailleurs que le terme hors du signe J* est nul pour t«= et u=oo , si l'on a fx ^ i, il viendra facilement
Répétant plusieurs fois cette opération, et désignant par k le plus grand entier contenu dans fx, on aura évidemment
VP; ^ "''(v-*-i)(v^-!2)...(v-Hfc) 3^ (i -4- w)f*+''+*
Si, par exemple, fx est un nombre entier A; + i, la valeur de l'intégrale sera (/x-i-v)-*, et l'on aura
S= ab ; TT-: ^, . r •
(v-4-i)(v-i-2)-««(v-*- fx)
Lorsque l'exposant fx est moindre que 1, on peut réduire l'intégrale comme il suit. On a
^ (I + tl)fM-v+i ~ 3o (^ -*■ ")^' 3o (« -*• rt^'^* '
et, d'après la formule (a), d'où
L'application répétée de cette formule conduira, 8t fx + v est entier ^ à la relation
et, comme nous avons trouvé la valeur de cette intégrale définie ^ale à
SinfXTT
nous aurons définitivement
)o ^* ■*" «*)^^''"^* ~ 1 . 2 . . . (fx -^ V) SinfXTT '
Enfin, si Ton avait à la fois fx-i-v entier, et [i compris entre deux nombres entiers consécutifs k eik-^iy on combinerait les formules (P) et (y), et Ton aurait pour l'expression de Taire cherchée
- fx(jX— i)"»(fX— t) (v-»-A:)(v-4-fc— i)»»«(t jX-fr-1) TT
(v-4-i)(v-*-2)—(v-4-A) i«2«-(fXH-v) sin(/x — ifc)7r'
ou
i •2 — (|x-*-v) sin(|x — il:)7r*
Dans le cas de Tellipse, |x = v = -> |x-i-v=i, et
tt6 i TT 7ra6
sm- Si l'on considère la courbe
OHd'"
on fera
m=:ns-9 jji=sv = -> jx-4-v = 3, 4 = 1, 5 2
et l'on aura
37ro6
Taire totale de la courbe serait égale à quatre fois ce résultat, ou à
- 7ra6.
47S. Remarquée. — !■ Il peut se faire que l'an ait i chercher l'aire comprise entre deux courbes BM, B^', et deux parallèles à l'oxc des y. Dans ce cas, si I'od désigne par i/o, y les ordoai\j^s respectives des courbes BM, B^', qui seront des fonctions données de x, on verra comme précédemment que l'élément infinitésimal de l'aire cherchée est un rectangle a^^af (les axes étant supposés rectangulaires), dont l'expression est
en sorte que, x« et x étant toujours les abscisses extrêmes, l'aire cherchée
Si les axes étaient obliques, l'intégrale serait multipliée parsinj'.
â* Dans les formules de quadrature, conformément Ji une remarque déjà faite au n' 141 , y désigne la valeur absolue de l'ordonnée de la courbe, sans quoi l'on trouverait des valeurs négatives pour les aires situées audessous de l'axe des x, et lorsque la courbe traverse plusieurs fois cet axe, l'intégrale fournirait la somme algébrique des aires comprises entre l'axe desx et la courbe, au lieu de leur somme arithmétique, que l'on cherche d'ordinaire. Soit, par exemple, à trouver Taire de la logarithmique
y = ol. X, entrex=Oeti>l.y est négatif depuis x = jusqu'à x:=l, nul pour x = l, positif pour X y» i. L'aire cherchée se composera donc d'une première partie OBA, savoir
\ {— y)dx== — a k l.xrfx= — a(xl.x — xj ^a,
et d'une seconde partie APM correspondante k y positif, savoir
l ydx=of scl.x — xj =o(xl.x — xH- 4).
La première partie nous offre un exemple d'un espace non fermé OBA, qui possède pourtant une étendue finie a (car la courbe a pour asymptote Taxe des y négnlifs).
5" 11 y a un autre cas où Ton doit partager en plusieurs parties Tintervalle de Fintëgration : c'est lorsque le contour qui limite Faire est composé d'arcs de courbes différentes. On voit assez ce qu'il y aurait à faire.
Exercices.
t. Aire de l*hyperbole entre la courbe, Taxe réel et une ordonnée quelconque y :
•. Aire de la chaînette comptée de Taxe de la courbe :
S. Aire comprise entre Taxe des x^ la courbe
bx
|/2oaj--a5*' et son asymptote x =s 2a. R. S = ?ra6.
4. Démontrer que Paire comprise dans Tintérieur d^une courbe fermée a pour expression
y y (/« cos y,
Tintégrale s^étendant à tout le contour de la courbe, et Tangle f que fait la tangente avec Taxe des x se rapportant à la direction du mouvement. La courbe peut être coupée par les parallèles à Taxe des y en un nombre quelconque de points.
Ît79. Coordonnées polaires. — Pour évaluer Taire S du secteur compris entre une courbe qui a pour équation, en coordonnées polaires,
et deux rayons vecteurs OA, OM de cette courbe, on partagera cette, aire en secteurs infiniment petits par des rayons vecteurs. On remplacera chacun de ces éléments par un secteur circulaire (i42) qui n'en diffère que d'une quantité infiniment petite du second ordre, et qui a pour expression
- r*A0, et Ton aura
S = I lim 2HA9,
ou, en appelant 6o et 9 les valeurs de l'angle polaire qui répondent aux rayons OA, OM,
i f" (1) S=-j rm
Il ne reste plus qu'à remplacer r par sa valeur f(e) et à effectuer l'intégration.
SSO. Folxum de Descartea. — L'équation
y» — Zaxy + a* = , transformée à l'aide des relations x = rcosB, y^^rsinQ, donne pour rëquation polaire de la courbe et pour l'aire du secteur commençant ^ l'axe polaire
3a sin 9 cos 9 „ 9«' f * sin* 9 cos* 9 d9
sin' 9 -*- cos* {
J.(si«-8H-e
Pour intégrer, on divise haut et bas par cos' 9, on pose tg*9=z, ctl'oi tpoove
5tt* f ' dz 3a*/ i Y 5aMg*e
~ 2 )„ {*-«)' " 2 Vl -4- z)^- 2(1 + tg»e)'
On peut écrire encore, ;c et y étant les coordonnées du point (r, 6) ; S a;»-t-y» 2»'
>S1. lecteur elliptique. — OAs=a, 0B = 6 étant les dcmi-axcs,
décrivons un cercle sur le grand axe comme diamètre, et soit N le point
de ce cercle qui se projette sur OA au même point P ^^^^^^^^^
qae le point H (r, 9) de l'ellipse; soit u l'angle BON. On ^^9^^^^|
a évidemment E^bS9^^I
a;=ircos9s=anati. v=''sin9=-nPs=6cosu, I^hIHk^H
et, en diflëreotiant, Q^^^g^J
<frcasO — rein9d9=acosudu, drsinO + rcosdfi9:= — bsiaudu. ^
Éliminant dr, on a
„ , .ni. «. , > cos*ti-*-sin'« , ra9= — (acosusmS-t- osinu cos 9) au = — ab du,
d'où
r'd9 = — ab du.
L'aire du secteur elliptique BOM a donc pour expression
5tH%. Si Ton avait à déterminer Taire comprise entre deux courbes données AM, A'M', et deux rayons vecteurs OAA', OMM' coupant ces deux courbes, on verrait facilement que cette aire a pour expression
S = -j (r»-ro»)de,
r, To désignant respectivement les rayons vecteurs de ces courbes exprimés en fonction de l'angle polaire, et 60, les angles polaires correspondants aux rayons extrêmes.
Exetxices.
« . LemniscaU de BemoulU : secteur compté à partir de Taxe polaire^
a' r«=:o*cos20; % = 0i S=-7sin2e.
Aire totale de la courbe : S &b a*.
