X -♦- cos y == 0, ou X = — cos y

Cette valeur de X est précisément celle à laquelle aurait conduit un calcul direct; mais, grâce à la méthode des limites, ce calcul est inutile.

Ces exemples suffisent pour faire saisir l'esprit de la méthode des limites, mais le reste du cours montrera des applications continuelles du principe fondamental.

18. Les quantités peuvent être regardées comme limites de plusieurs

manières différentes, et de là résultent autant de branches de ta méthode des limites. Il y en a trois principales :

1* Une quantité peut être regardée comme la limite vers laquelle tend la somme d'vn nombre de plus en plus grand de termes, pris dans une suite indéfinie de quantités délenuinées.

Ainsi, l'oQ a vu que l'unité est la limite de la somme des » premiers termes de la suite

n croissant indéfiniment. Ce mode d'application de la nolion des limites donne naissance à la théorie des séries, théorie importante dont nous exposerons plus loin les éléments, quoiqu'elle ne fasse pas l'objet de ce cours,

2" Elle peut être regardée comme la limite vers laquelle tend le rapport de deux grandeurs variables, qui tendent simultanément vers zéro, ou comme dépendant d'une telle limite.

A ce point de vue se rattache le célèbre problème des tangentes aux courbes. Soit M un point donné !

une courbe plane; HH' une sécante menée par ce point. Si l'on conçoit que le point 1 M'aerapprocheindéfinimenl, sur la courbe, du point M, la sécante MM' tendra vers une I poHtion limite HT : cette limite des sécantes se nomme la tangente k la courbe au 1 point M.

Nommons (x, y) les coordonnées du point M; (x ■*■ k, g •*• k] celles du point M'; a le coefficient anpiairc de la droite HH', r celui de la limite MT. On a

Lorsque H' se rapproche indéfiniment de H, d'une part, a tend évidemment vers la limite r; d'autre part, ketk convergent simultanément vers

k la limite zéro ; mais leur rapport y , comme nous le verrons, tend généralement vers une limite déterminée et finie, que l'équation de la courbe

permet de caleuler. Et comme des quantil^^s égales tendent vers des limites égales, nous aurons

Ainsi le problÈme de la déterminDtion de la tangente se ramène h chercher la limite du rapport de deux variables tendant simullaDdmcnt vers zéro,

3" Enfin, la grandeur qve l'on veut évaluer peut être regardée comme la limite vers laquelle tend vne somme de quantités variables, qui tendent toutes à la fois vers zéro, en tnême temps que leur nombre croit indéfiniment.

La mesure dus aires planes offre un exemple de ee mode d'application des limites. Soit ÂB^Â' l'aire à évaluer, comprise entre une eourbe, l'axe des X, et deux ordonnées AB,A'B'.

On partage cette aire en un nombre quelconque de segments par des parallèles à l'axe des (/; par les points M, M',... où elles coupent la courbe, on mène des parallèles à l'axe des x, et l'on démontre, comme nous le ferons plus loin, que la somme des aires des parallélogrammes tels que MPP'K a pour limite l'aire cherchée ABB'A', quand les divisions PV de la base AA' sont supposées décroître indéfiniment, leur nombre augmentant au-delà de toute limite.

Il existe encore bien d'autres manières de considérer une quantité romme limile de quantités variables d'une nature plus simple, mais les deux derniers points de vue, auxquels nous nous attacherons spécialement, sont ceux qui servent de fondement à la méthode infinitésimale. Celle-ci n'est donc qu'une des formes de la méthode des limites.

Avant d'exposer les principes de la méthode infinitésimale, il importe r quelques notions importantes sur les séries.