II. RECTIFICATION DES COURBES
A. Courbes planes.
%H9. L'équation d'une courbe plane étant donnée en coordonnées rectangulaires,
pour calculer la longueur s d'un arc de cette courbe, compté d'une origine fixe A jusqu'à un point M, on partagera cet arc en éiéments infiniment petits. Un de ces éléments, correspondant à un accroissement àx de la variable x, aura pour expression
àx
en négligeant une quantité d'ordre supérieur à Ax. La longueur s de l'arc sera donc égale à
litn 2 Aa? d'où, en désignant par Xo, x les abscisses des points A, M, on aura
Si l'ëquatioQ de la courbe est donnée en coordonnées polaires, l'élément de Tare aura pour expression v
Ae
r. dp V'-'-^-dêi
d'où, 60 et 6 désignant les valeurs de l'angle polaire qui répondent aux extrémités A et M de l'arc.
Appliquons ces formules à quelques exemples.
M4. Parabole. — L'équation de la courbe étant mise sous la forme
x« = 2py ou y = 2r»
on aura
et comme
1 dx [/p* -♦- x* = p* I -*- I
= |^pt^.X«-4-^l.(X-|.ï/p«-*-X«)-4.C,
si Ton prend le sommet A de la courbe pour origine de l'arc, on devra faire C= — ^L p^ pour que l'intégrale s'annule pour x=0; donc
385. Ellipse. — En exprimant les coordonnées (x, y) de la courbe au moyen de l'angle u, défini au n"* 28i , nous avons trouvé
X == a sin 14, y = b cos w, d'où
rf^ = |/rfx* -4- dy* = dw j/o* cos* ti -»- 6* sin* w, ou, en désignant par az=^i/a'^ — 6* Tcxcentricilé de l'ellipse,
ds = adu j/i — e' sin' u.
L'arc BM, compte du sommet B du petit axe jusqu'à un point M correspondant à l'angle Uy aura donc pour expression
= o I dti j/l — e* sin* u*
Cette intégrale est une transcendante nouvelle, dite fonction elliptique de seconde espèce. Pour la développer en série, nous observerons que s est <i, d'où
(1 — s*sin'tt)* = 4 — - e*sin*tt — ^r-y e*sin*t« — ■ . ^ e^sin^tf — • ,
d'où nous tirerons la série convergente
= a(u — 5^*1 sin*Mdti — â"!^* \ sin*urft#— •• V
Comme on sait obtenir sous forme finie les intégrales qui figurent dans ce développement, l'arc d'ellipse peut être considéré comme exprimé par une série connue. Pour avoir le quart du périmètre de l'ellipse, on devra
poser u=:^ dans cette égalité, et, d'après la formule connue (266)
TT
sin'**!! au = ^ — i
il viendra s
Cette série sera d'autant plus convergente que l'excentricité s sera plus petite. Pour e=0, elle se réduira à —, longueur du quart de la circonférence de rayon a, comme cela devait être.
986. Cycloïde. — Les équations de la courbe donnent facilement ds = ada>|/(i — cos »)*-♦- sin* a> = adw j/2 (1 — cos «),
=: 2a i sin - a» = 4a 1 cos -^ — cos - I-
On en déduit sans peine la propriété indiquée au ch. XVI (ex. 3). La
SI
longueur totale d'une arcade de cycloïde s*obticnt en faisant edo=0, Gd=27r, et a pour valeur 8a, c'est-à-dire quatre fois le diamètre du cercle générateur.
««I. Cardioide : r=2a(1 -*- cos 9).
On a successivement
dr Q
-- = — 2asinO, ds = 2orf9 i/(i -^ cos 9)« -i- sin« G == 4o cos -d9, dB r N / 2 7
et par suite, pour l'arc compté à partir du sommet 9s=sO,
« = 8a sin - •
Le périmètre total de la courbe a pour mesure 16a.
