Lemniscate. — La courbe a pour équation

r* = a* cos 29.

On a donc

^ a* sin« 29 adQ

rdr=— a«sin29rf9, d«=d9\/ a«cos29-i- — -y

V ^ ^ l/cos29

L'arc 5, commençant au sommet A pour lequel on a 9=0, et se terminant au point M (r, 9), a donc pour expression

r® dB

Jo j/cos 29

Cette intégrale se ramène à une fonction elliptique de première espèce, en posant

sin 9 = — sin w, cos QdQ= — cos u du,

^/cos 29 = |/i — 2 sin* 9 = |/i — sin*u = cost^,

d'où

a /*** du

La lemniscate jouit d'une propriété remarquable : quoiqu'on ne puisse exprimer ses a?cs sous forme finie, on peut assigner une relation simple

entre les extrémités d'arcs égaux. Etablissons, entre deux points M et M', la relation

eos cos = — - ;

nous aurons successivement

i ... slnOdB sin9dG

eos G'= ~— T » aïï= —

V/2 eos 1/2 ç^gt Q |/i— cos'O' eos 9 j/2cos«0— i '

i sin^

eos 20' = 2 eos* G'- i = — ^^ — i = -^,

eos' eos'

d0' dB dO

|/eos 2^ j/2 eos* 9 — 1 |/cos 20

L'are 0M'> compté du centre jusqu'au point M' qui répond à Tangle 0', a pour expression, d'après ce qu'on a vu ci-dessus,

d& r dO r® dQ

r* dO' r dB r

J 0' i/cos 29' Je i/cos 29 Jo

j/cos 29' Je |/cos 29 Jo |/eos 20

d'où l'on voit que les arcs AM, OM' de la lemniseate, terminés à deux points M et M' entre lesquels existe la relation indiquée, sont égaux entr'eux.

Exercices.

, i . Chainetle» — L^équation de la courbe est

L'arc «, commençant au point le plus bas, a pour expression

^ étant l'inclinaison de la tangente à Textrémité de l*arc, sur Taxe des x (voir ch. XVI, ex. 2).

té Hyperbole .• — — 7i ^^ ** ^^ posant

cosu on trouvera pour Pexprcssion de la longueur de Parc, compte à partir du sommet réel,

"' J^ COS* ç) V

OU, par le développement en série (c ^ 1),

La différence entre Tare d^hyperbole et la longueur de Tasymptote terminée à la même ordonnée, tend vers la limite finie

lorsque x croit indéfiniment.

9. Spirale logarithmique: r = €U?*^, Arc compté du pôle (6o «= — oo ) :