On appelle série une suite indéfinie de quantités
(1) Wo, tl„ tl„... Unj....
qui se forment suivant une loi déterminée, de telle sorte que le rang d*an terme étant connu, cela suflGlse pour qu'on puisse le calculer. Le terme ti» se nomme le terme général : son expression, donnée en fonction de l'indice n, fait connaître toute la série. Soit
la somme des n premiers termes de la série; si, pour des valeurs indéfiniment croissantes de n, la somme Sn tend vers une limite finie et déterminée s, la série (i) est dite convergente^ et 8 est la somme de la série; si^ au contraire, Sn croit sans limite ou ne tend vers aucune limite fixe, la série (i) est divergente et n*a pas de somme. Par exemple, la progression géométrique
i -♦- ar*- a* -♦- ••• -♦- a*-i- •••
est t;onvergentc, comme on sait, pour toute valeur de a entre zéro et
l'unité, et a pour somme ; elle est divergente p#ur toute valeur
de a égale ou supérieure à Tunité.
Si la série (i) est convergente, il est clair que la série
est aussi convergente et a pour somme $ — Sn] et en désignant par R» la somme de cette série, en sorte que
on dira que Rn est le reste de la série {i) h partir du n"« terme.
Il est clair aussi que si, à partir d'une certaine valeur de n, les termes
forment une série convergente, la série (1) est elle-même convergente.
%Q, Propriétés générales des séries. — I. Datis toute série convergente^ le terme général Un a pour limite zéro^ lorsque n croit indéfiniment.
Eq effet, les sommes Sn et 5n+i tendant alors vers la même limite s, leur différence
Sn+l «n == tin
doit nécessairement finir par devenir moindre que toute grandeur donnée : elle a donc pour limite zéro.
Plus généralement, quelle que soit 4a valeur du nombre entier /), les sommes Sn^ Sn^p tendant vers une même limite fixe Sy leur différence
doit nécessairement tendre vers zéro quand n croît indéfiniment, si la série est convergente. Et réciproquement, si la différence 5„^.p — Sn a pour limite zéro quand n croit sans limite, quelque valeur constante, ou variable, et même indéfiniment croissante, qu'on attribue au nombre p, la série (1) sera convergente. En effet, supposons que la condition soit remplie, et que la série soit divergente, en sorte que Sn^ pour des valeurs indéfiniment croissantes de n, croisse sans limite ou oscille indéfiniment entre deux valeurs déterminées. On pourra donc toujours, quelque grand que soit n, ajouter à Sn un nombre p de termes suffisamment grand, pour que Sn^p diffère de Sn d'une quantité finie, supérieure à une limite donnée h (voir au n<» 46). La différence SnJ^-p — «n ne finirait donc pas par rester constamment moindre que toute quantité assignée d'avance, et n'aurait conséquemment pas pour limite zéro, comme on l'a supposé. Donc
IL La condition nécessaire et suffisante de la convergence de la série (i), est que la différence
^n-\-p "^ Sn
tende vers zéro pour des valeurs indéfiniment croissantes de n, quelque valeur qu'on attribue à p.
Cette proposition renferme la première, mais comme celle-ci indique une condition beaucoup plus facile à vérifier, il est utile de la conserver.
IIL Lorsqu'une série a tous ses termes respectivement moindres, en valeur absolue, que les termes correspondants d'une série convergente à termes positifs, elle est elle-même convergente; car la différence Sn^p — Sn a, dans la série proposée, une valeur numérique inférieure ou tout au
plus égale à celle qu'elle possède dans la série convergente, et comme dans celle-ci elle tend vers zéro, d'après ce qui précède, il en sera de même dans la proposée; d'où, etc.
IV. Si ton multiplie les termes successifs d'une série convergente à termes positifs
Wq -h Mi -h • • • -4- Wn -H • • • 9
par des facteurs de signes quelconques a^, a^,... an,.**» dont la valeur numérique ne dépasse jamais une limite donnée, la série ainsi formée
sera encore convergente,
Cest encore une conséquence du théorème II, car dans cette série la différence Sn-^-p — Sn a pour valeur
=:(w»-h Wn-l-l -+- ••• -*- Wn^-p-.l)M(an, «n-j-t,... (Xn^p-l)',
le premier facteur tend vers zéro en même temps que -, par hypothèse;
le second ne dépasse pas une quantité ûnic] le produit tend donc vers la
Jimite zéro, ce qui détermine la convergence de la série que l'on a formée.
V. Lorsqu'une série cotivergente reste telle en réduisant tous ses termes
à leurs valeurs numériques, on peut intervertir d'une manière arbitraire
l'ordre de ses termes sans altérer, ni sa convergence, ni sa valeur.
Supposons que la série (1) soit convergente, que r« désigne la valeur absolue de Un, et que la série
^0 "♦■ ''i "*" ^1 •< H Tn -♦- •••
soit convergente. Nommons
la série formée en disposant dans un autre ordre les termes de la série (i), et s'm la somme de ses m premiers termes. 11 est clair qu'on peut prendre fn suffisamment grand pour que s'm renferme les n premiers termes de la série (4), avec d'autres d'un rang plus élevé, en sorte que
s m= Sn -+- M« -+- Ma -+- • • • -♦- M^,
a, (3,.. ^ étant compris entre n— 1 et n-4-p — 1. Donc
Faisons croître indéfiniment n, et par suite m; le dernier membre de l'inégalité précédente tend vers zéro, à cause de la convergence de la série
Vq + r^ +...-+- Tn -♦-••• ;
Sn a pour limite 5, somme de la série (i); donc
lim $'m = 5,
On voit, qu'il n'est pas permis d'intervertir arbitrairement l'ordre des termes d'une série convergente, sans s'être assuré que celle-ci satisfait à la condition précédente. Ainsi, les séries
composées des mêmes termes affectés des mêmes signes, ont leurs sommes
dans le rapport de i à - •
La nécessité de la convergence d^une série étant établie, il importe d'indiquer les règles principales qui permettent de prononcer sur la convergence ou la divergence d'une série donnée.
31 • Séries dont tous les termes sont positifs. Supposons que la série
(i) ti^ -*-tij -♦-•••-♦- tin -♦-•••
ait tous ses termes positifs, auquel cas, si Sn ne croit pas indéfiniment avec n, la série est nécessairement convergente. On peut généralement s'assurer de sa convergence au moyen du théorème suivant :
VI. Si le rapport -^> à partir Hune certaine valeur de n> reste
constamment moindre qu^une quantité k plus petite que Vunité^ la série
(i) est convergente; s'il reste constamment supérieur à l'unité, la série est divergente.
En effet, dans le premier cas, à partir de cette valeur de n, Ton a
Un tln+t ^ W«+»
d'où La série
Un '+' tln+1 -*- tln+8 -*-•••
a donc tous ses termes respectivement moindres que les termes de même rang de la progression géométrique
Un -*- Unk + Unk* "*- Wn^* H 5
qui est convergente, puisque fc < i . Donc, d'après la propriété III, elle est elle-même convergente, et par suite la série (i). Dans le second cas, les termes de la série, à partir d'un certain rang, mt constamment en croissant, la première condition de convergence st pas remplie.
uoROLLÂiRE. Si le rapport — ^ tend vers une limite déterminée i,
Un
lorsque n croit sans limite y la série est convergente ou divergente selon que 1 est <C ou '^ que l'unité. En effet, dans le premier cas, il suffit de prendre un nombre k compris entre i et ^, et moindre conséquemment que l'unité : le rapport d'un terme au précédent finira (16) par être constamment moindre que fc, donc la série sera convergente. Par la même raison , dans le second cas, — ^* finira par être
Un
constamment supérieur à l'unité, la série sera divergente. Exemple : La série
est
convergente.
car
le rapport
Wn+t Un
a pour limite zéro.
Lorsque la limite l est égale à l'unité, et que d'ailleurs -^ ne reste
pas constamment supérieur à sa limite, le théorème précédent ne suflQt plus pour décider de la convergence ou de la divergence de la série. VII. Sif à partir d'une certaine valeur de n, t expression
(«.) est constamment moindre qu'une quantité fixe k plus petite que l'unité, la
série {\) est convergente ; elle est divergente, au contraire, si (un)"* finit par être toujours plus grand que l'unité.
En effet, dans le premier cas, pour toutes les valeurs de n qui suivent la proposée, on a
(Wn)*<CA OU Un </:*•.
Les termes de la série (i) sont donc, à partir d'un certain rang, inférieurs à ceux de la progression géométrique convergente
A h Ir^ le**
1 , n-, rv , ... rv , ••.,
ce qui suffit pour démontrer la convergence de la série (1).
Dans le second cas, Un reste constamment plus grand que l'unité.
Corollaire. — Si (wn)" tend vers une limite 1 pour des valeurs indéfiniment croissantes de n, la série (1) est convergente si i < 1, divergente st X > i .
Ce corollaire se démontre comme le précédent.
Exemple : Dans la série
on a
dont la limite est x lorsque n croit sans limite. Cette série est donc convergente si x<;i, divergente si x> 1.
Ce critérium devient aussi insuffisant lorsque X=i : il faut alors recourir à des règles spéciales que nous n'indiquerons pas ici (V. note !'•).
ît*. Séries dont les termes ne sont pas tous de même signe. • — Lorsqu'une série a tous ses termes négatifs, elle rentre évidemment dans le cas que nous venons d'étudier. Considérons donc le cas où les termes de la série ont des signes quelconques : la remarque suivante suffit souvent pour décider de la convergence ou de la divergence.
