COS V

Exprimant en coordonnées r et Téquation du eerelc de bn aussi (|ue

i„ = 0, ri = aeosO; Ou = 0, Oi = --i:z' Donc

r^i rdr r* rdr / /- -\'* .*. "

Jo ^^^ "^ \ |/a« — r« \ /o . .

Ensuite

S = a«C (i— sinO)rfO=ci'/'^ — i\

En quadruplant cette expression, on trouvera, pour Taire to eliée de la sphère par le cylindre complet, 2a* (tt --2). '

319. D\autres modes de décomposition de la surface en clëiii« niment petits conduisent parfois, selon la nature du problème, ài tats plus simples. Considérons Tellipsoïde à trois axes inégaux =

JT* 1/* Z*

dans lequel Temploi des formules générales donnerait une intcgnl assez compliquée. Traçons sur la surface le lieu des points (Xj y^ lesquels cos v a une valeur constante u. D'après les formules du ces points satisfont ii Téquation ,.

et, en éliminant z^ entre cette équation et celle de IVllipsoïde, m pour la projection de ce lieu sur le plan XY, l'équation

x« o' — (g* — c') ti* if b^ — (6* — c«) y} a* i— ti' ■*" 6 * 1 — «« ~

C'est une ellipse dont les demi-axes, en posant

auront pour expressions

a i/T— M* 6|/l — tt'

et dont l'aire E sera, en conséquence, donnée par Féqnation

E = TTCIO — — .

Si Ton décompose la surface de Tellipsoîde en zones infiniment étroites par ces courbes le long desquelles u est constant, la zone comprise entre deux courbes correspondantes aux valeurs t/, ti + ctti du paramètre aura pour projection, sur le plan XY, la couronne elliptique dE qui répond h un accroissement du du paramètre u. D'ailleurs, pour tous les éléments de cette zone, cos v est constant et égal à ii; Taire de la zone elle-même est

dE donc égale à — > en négligeant des quantités d'ordre supérieur. Faisant

la somme des zones qui répondent aux valeurs de v depuis i jusqu'à zéro, on aura évidemment la surface de l'ellipsoïde située au-dessus du plan XY, «t, en doublant, la surface totale sera

Or, nous avons

rdE E C Edu j u u ) u*

et, en posant A = |/i — fc*ii', A' = i/l — fc'V,

£ du Tzab du ivab du

D'un autre côté, on trouve facilement que

. AA' fc«A' . fc'«A . AA' ^ A«A' ^ A ,

«. — = T- du —- du —du = r— du rn^^w

ti A A' M* A «*A'

k^y ^ du k^du

— ^—^ du — — — -4 ,

A t/*AA' AA'

d'où, substituant,

Ed« , r AA' Jk«A'^ ,. ,., rfeil

ÂÂ^J'

- ÔS* — et, par suite,

D'après cela, l'expression de la surface totale de rellipsoïde devient

On voit sans peine, en remplaçant A*A'^ par sa valeur et faisant successivement t< = , ii = i , que le premier terme est égal à

ârraô y^i — 4* |/ i — /c'*, ou, fc et A:' étant remplacés par leui's valeurs, à 27rc*. On a donc, enfin,

S = 27rc« -♦- 27ra6 r*« ( -dw — (1— fc«)f ^1.

Ces deux intégrales dépendent des fonctions elliptiques de première et de seconde espèce : on les y ramène immédiatement en posant &M=sin 9.

Exercices.

i. Calculer Taire de la surface qui a pour équation

2=rcarctg-9

comprise entre le plan XZ, le plan YZ, et le cylindre vertical or* -t- y* as a*.

t. Le paraboloïde à axe vertical

est coupe par une surface sphcrique de rayon c qui est, comme lai, tangente au plan XY à Torigine. Déterminer l*aire de la portion de surface sphérique comprise dans la courbe d*intersection.

R. L'application de la formule (5) conduit à Téquation

S. Aire du paraboloïde elliptique (ex. 2) limitée par le cylindre vertical à basq elliptique qui a pour équation

R. S=z%ab(2*—i), o

4. Les points d*unc surface fermée étant rapportés aux coordonnées polaires ordinaires r, 0, ^f le pôle étant k Pintérieur de la surface, et P étant la distance de ce pôle au plan tangent à la surface au point (r, 6, tf>), la surface totale aura pour expression

Jo •'o

•. L*équation d*une surface étant donnée sous la forme

» = f(tt,w), y = f, (ujw), 2rHBif,(tt,«),

en décomposant la surface en quadrilatères infiniment petits par les lignes u = con«/., V ^ consLy on troure pour l*aire S comprise dans un contour fermé

s = (rft. ( dot /(^ ^-"ii ù\\ (^^-^ iY + ^'- ^ - ^ -Y,

j j y \du dv du dvJ \du dv du dvJ \du dv du dvJ

les limites des intégrales se rapportant aux limites du contour. •. L*aire totale de la surface d'élasticité

(«* -t- y* H- 2*)* — (oV -♦- b^y* -♦- c*z*) =

est égale à celle de rellipsoîde dont les demi-axes sont

bc ca ab

— ï T- > — • abc

R. Pour démontrer ce théorème, on calculera Taire de la surface d*élasticité par la

formule de Vex. 4, et celle de Tellipsoïde par la formule de Pcx. 8, en posant

bc . ca . . ab

a; = — sm u cos V, V = -r sm u sm v, z^s — cos u.

9. Une courbe tracée sur la sphère de rayon 1, étant définie par une équation entre les coordonnées p et u (ch. XX, ex. 4), Taire sphérique comprise entre cette courbe et deux rayons po et p, qui répondent à w = et à a», a pour expression

cos p do»,

Si la courbe est fermée et le pôle Â intérieur, ci==27r donnera Taire totale. 9. Appliquer cette formule à la loxodromie sphérique^ qui coupe le rayon p sous un angle constant.

R. L*équation de la courbe est

tg?=,c*^.

L*aire terminée aux angles w = et « a pour valeur

•. Appliquer la même formule à la quadrature de Tcllipse sphcriciue (ch.XX, ex. 2). R. Prenant pour pôle le centre de Tellipse, et comptant Tanglc w à partir du grand axe ; désignant par de, ^ les demi-axes de la courbe, on aura

a=ri, 9 SB a, cos a = cos /3 cos e, as ss sin p cos w, y = cosp,

et Ton transformera sans peine Tcquation de Pellipsc sphcrique en celles-ci

cos* 0) sin' M 1 cos' w sin* o» 1

sin* a sin* ^ sin* p Ig* a tg' ^ tg* p

D*où Pon tirera, en posant

tga

8= ZW — 4 COS a I :-r — ^

tga I ^SIII^^.^ l/l— sin«esin«y

I siu*a

pour Pexpression de Taire totale de Pellipse sphcrique.