VIII. La série

est toujours convergente, lorsque la série obtenue en réduisant chaque terme à sa valeur absolue est convergente.

En effet, soit r» la valeur numérique de u»; on a

et comme on suppose convergente la série qui a pour terme général r^ cette dernière quantité tend vers zéro, donc on a

lim {Sn^p — Sn) = 0.

Il suit de là que les règles du numéro précédent seront applicables aux

séries à termes positifs et négatifs; ainsi, lorsque le rapport ^^ réduit

h sa valeur numérique, tend vers une limite l pour des valeurs indéfiniment croissantes dew, la série (i) est convergente si X<i, divergente si X2> 1, etc....

Mais une série peut encore être convergente, lorsque la série formée des valeurs absolues de ses termes est divergente : le théorème suivant est alors souvent applicable.

IX. Lorsque les termes de la série (i) sont, à partir d'un certain rang, alternativement positifs et négatifs, et de plus constamment et indéfiniment décroissants, la série est convergente. Le reste à partir d'un terme déterminé est moindre que le terme suivant.

Soit Un un terme à partir duquel les conditions ci-dessus sont remplies. On aura

«n+p — 5n= W» -♦- tln+l + . . . -H t/^p 4 a= i: (î'n — r„4.i 4- rn+î — • • • ± Tn+p-l).

Par hypothèse, rn>rn+i>r»^.8...; donc la quantité

est 1*» positive; 2*» moindre que r,, puisqu'on peut récrire

Donc

val. num. (Sn+p— 5n)=M(0, r«),

et comme r^ tend vers zéro lorsque n croit sans limite, il en est de même des»+p— Sn» C. Q. F. D.

L'égalité précédente ayant lieu quelque soit /), on peut supposer n fixe et p indéfiniment croissant, et Ton aura

«-.5«=R„==M(0,rn).

On a ainsi une limite de Terreur commise en arrêtant la série à son w*"« terme.

Application, La série

est convergente, quoique la série des valeurs absolues des termes

que Ton nomme série harmonique^ soit divergente. En effet, on a pour celle-ci, en prenant /) = n,

cette quantité ne tend pas vers zéro avec - > la série est divergente.

Corollaire. Si^ dans une série dont les termes sont affectés de signes quelconques, les groupes successifs formés par les termes positifs et par les termes négatifs ont des valeurs constamment et indéfiniment décrois-' santeSj la série est convergente. Car la série formée par ces groupes successifs est convergente, d'après le théorème précédent; et Ton voit sans peine que sa convergence entraine celle de la série proposée.

5t3. Séries imaginaires. Une série dont le terme général Vn est une

quantité imaginaire pn 4- Çn (/ — 1 , se nomme une série imaginaire. Désignons par

5n = (/>0-H ?0|/— 1)-H(pi-+- Çij/— -1)h »-(Pn-.i + Çn-ij/— 1)

= (po -^ Pl H H Pn- l) -*- (Ço -H Ji H H (/n-l) (/— 1

la somme de ses n premiers termes. Si, pour des valeurs indéfiniment croissantes de n^ Sn tend vers une limite finie et déterminée, la série est convergente : il faut et il suffit, pour cela, que les séries réelles

soient convergentes, et si Ton désigne par P, Q, leurs sommes respectives, la somme de la. série imaginaire sera P -4- Q ]/ — i .

5t4l. Soit

(i) Mo-4-WiH ^ Un-\

une série imaginaire; posons

Vn = rn (cos 0„ -H {/— -i sin Gn).

On pourra souvent s'assurer de la convergence de la série (i) à l'aide de ce théorème :

X. Une série imaginaire est convergente, lorsque la séi^ie formée des modules de ses différents termes est convergente.

Supposons, en effet, que la série

To -+- fi -t- Ts -*-••• -4- r» -+- •••

dont les termes sont positifs, soit convergente. D'après le théorème III, les séries

rocos 9o-i-rtCOs Gi-i- ... -i-rncosôn-*- ••• ? ro sin ôo -♦- Ti sin 9i -4- ... -4-rnSin 9» -*-••• ,

formées en multipliant les termes de la première par des facteurs cosô», sin G», qui ne peuvent dépasser l'unité, sont également convergentes. Il en est ^onc de même de la série

ro(cos % -*- (/ — 1 sin %) -h ri(cos Gi -h j/— 1 sin ôi) h

Mais une série imaginaire peut évidemment être convergente, sans que la série des modules le soit.

XI. Si une série imaginaire reste convergente lorsque Von réduit les différents termes à leurs modules^ on peut intervertir arbitrairement l'ordre de ces tennes sans altérer la convergence de la série, ni sa valeur.

Cette propriété, analogue au théorème V, se démontre de la même manière, en appliquant le raisonnement du n** 20 aux deux séries réelles dont se eompose la série imaginaire, et désignant par r», non la valeur numérique, mais le module de Un*

35. Combinaison des séries, — XII. Si les séries réelles ou imaginaires

(i) Wo-HWi-H HWnH ,

(2) ro -t- Vi H ï-Vn-^

sont convergentes et ont pour sommes respectives s et s'y la série

{Uo -t- Vo) -H (wi -*- Vi) H (Wn -4- v«) H

sera convergente et aura pour somme s -h s'.

Car les sommes, 5„ et s'n, des n premiers termes des séries (i) et (â), ayant respectivement pour limites s et 5', la somme s„-*-s'n des n premiers termes de la nouvelle série aura pour limite s -t- s', lorsque n croîtra indéfiniment. Ce théorème concerne Vaddition des séries, le suivant leur multiplication.

XIII. Les séries (i) et (2), réelles ou imaginaires, étant convergentes, si elles restent telles lorsqu'on réduit chaque terme à son module, la série

(5) WoVo -*- {UoVi -H UiVo) -»- (Wot?2 -H UiVi -t- WsVo) H j

qui a pour terme général

UaVn -H UiVn^i H H Wn-iVi H- UnVo ,

est convergente, et a pour somme ss'.

i» Supposons d*abord que w,», t?„ soient réels et positifs, et formons les les sommes

Sn = Uo -^ Ui -\ h W«l, s'n^=Vo -i- Vi -H ••• H- Vn-iy

S"n = UoVo -+- (ttoVi -*- Wit/'o) H 1- (WoVn-1 -+- «iVn-a -*-••• + Un-.iVo)j

des n premiers termes des séries (1), (2) et (5). Le produit Snsfn renfermera évidemment tous les termes qui figurent dans s"«, plus un certain nombre d'autres termes positifs, donc

s n \ SnS n*

D'autre part, si Ton désigne par m le nombre entier immédiatement

fi 1

inférieur à — - — , il est facile de voir que le produit SmS'm ne ren-

fermera que des termes dans lesquels la somme des indices de 2/ et de t? sera inférieure an — 1 , termes qui seront tous compris dans s"n. Donc

Faisons croître indéfiniment m, et par suite n; SmS'm ayant pour limite ss\ de même que SnS'nj ^^ quantité «''„, toujours comprise entre deux autres, dont la limite commune est ss\ tend nécessairement elle-même vers cette limite. La série (3) est donc convergente et a pour somme ss^.

2** Les séries (i) et (2) étant maintenant imaginaires, soient r», r'„ les modules respectifs de iin et v». En développant les valeurs de SnSn\ et de s"n, on trouve sans peine

Le module d'une somme étant moindre que la somme des modules de ses termes, on a

mod {SnS'n — s"f,) < r„ir „i -t- (rn ir'n 8 -i- r„^2r'n i) h —

Cette somme tend vers zéro en même temps que - , car elle n'est

autre chose que ce que deviendrait s„.s'„ — s"n si, dans les séries (i) et (2),

on réduisait chaque terme à son module; et comme, par hypothèse, ces

séries resteraient convergentes, et à termes positifs, la proposition leur

serait applicable et la différence SnS'n — s"» aurait toujours pour limite

zéro. Donc on a

lim mod {SnS\ — s"n) = 0, et par suite

lim (SnS'n — s"n) = ;

d'où enfin

lim s"n = S5',

comme dans le premier cas. Il faut remarquer que ce second cas comprend celui où les termes des séries (1) et (2) sont réels et de signes quelconques : le module d'un terme négatif se réduisant, comme on sait, à sa valeur numérique.

Le théorème XIÏI sert à développer en série convergente le produit de deux facteurs, dont chacun est déjà développé en série.

36. Limite de l'expression (!-♦-«)«. Considérons la série indéfinie convergente

dont nous désignerons la somme par e. Nous nous proposons de démontrer que, la quantité a tendant vers zéro suivant une loi quelconque, l'expression

tend vers une limite égale à e.

Supposons d'abord que a soit de la forme — ■ , m désignant un nombre

entier indéfiniment croissant. On a, par la formule du binôme,

(1 X** . 1 mUn — i) 1 1

mj m 1 • 2 m* m**

Le terme de ce développement qui en a p avant lui est

fn{m — l)»»'(wi — /)-+-!) 1

car

et sous cette forme, on voit 1** qu'il est positif, puisque les facteurs sont tous positifs; 2° qu'il croît constamment lorsque m reçoit des valeurs indéfiniment croissantes, p ayant une valeur constante; 3<» qu'il s'ap-

proche alors indéfiniment de ; — en restant inférieur à cette limite,

les facteurs (1 )j«..(l — — i tendent vers l'unité.

\ rnj \ mJ

De là il résulte déjà que fin — I a une valeur positive constamment

croissante avec m, puisque, d'une part, chaque terme du développement

croit; d'autre part, le nombre m-*- 1 de ces termes augmente. En outre,

cette valeur est toujours moindre que e, car chaque terme du dévelop-