CHAPITRE XXXVII

EXISTENCE ET PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE D'UNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ.

319. Considérons en premier lieu une équation différentielle de la forme

et avant de nous occuper des procédés d'intégration, cherchons si elle admet une intégrale. Au point de vue analytique, Téquation (1) fournit l'expression de la dérivée d'une fonction inconnue, au moyen de la variable et de la fonction elle-même, et il s'agit de remonter de cette relation à l'expression même de la fonction. Au point de vue géométrique, où l'on considère X et y comme les coordonnées rectangulaires d'une courbe, l'équation (i) donne la direction de la tangente à la courbe en fonction des coordonnées du point de contact, et l'on doit tirer de là le tracé de la courbe. Or, cette construction peut se concevoir comme il suit :

Pour une valeur Xo de la variable, assignons h y une valeur arbitraire yo,

— ÔOi — et admettons que, pour loutes les vnlcurs de x depuis Xt, jusqu'à une voleur donnée x, et pour toutes les valeurs possibles de y, les fonctions

restent contioues, k détermination simple, et numériquement inférieures il des quantités données A, B, C. Concevons que l'on passe de xo àx par une suite d'accroissements infuiimcnt petits ha, hi,..., A,^i, et que l'on culcule suecessivcment les accroissements eorrespondants de y, à partir de ^0) par lu formule

On obtiendra ainsi une suite de points 3lu(xi„ yu), Mi(^i, jfi), TtU (xt, t/t),..., M.t (x.-i, y<i-i), M {x, y), bien détcnniiicâ, puisque l'on a

I a'i^Xa + Aa, Ta'^Xi-t-k,,..., X=Xn-i-t- hm-i',

l y,= ijo-*-f[xo,!/o]ho, y,=y,-*-f(x,,j/,)lu,..., y=yn-i-*-t{x.-t,y^>)l'n-i.

Étant joints deux-à-deux, ecs points formeront un polygone infinitésimal MoMiHi...H..iH dans lequel le eoefficient angulaire d'un edtc quelconque sera donné par réqualion (3), et, lorsque les divisions Ad, hi... de l'axe des x tendront vers zéro, n croissant indéfiniment, ce polygone tendra à se confondre avec une courbe déterminée, satisfaisant à l'équation différentielle (I).

3SO. Pour le démontrer, admettons d'abord que l'on partage un élément quelconque hi en un nombre quelconque de parties plus petites, désl;;nées en général par £, et calculons la variation Syi+i=Tdi+t{'- qu'éprouvera, par suite de cette opération, l'ordonnée yi^, qui répond à l'abscisse Xi^-i. Comme on passe du point Mi au point ft par une suilc d'opérations semblables aux opérations (â) qui nous ont conduit du point Mo au point M, on aura évidemment,

(4) j,+, * 3s,t.~y, + 2 Hx, + «, j, -H P) ■ t ,

Xi-*-x, f/i-*-^ étant les coordonnées d'un sommet quelconque du nouveau polygone construit entre Xi et x,+i. Il suit de là que l'on a (i/.-+. + 3y, h) -y<< 2AE = Mi = AA„

le signe d'inégalité se rapportante^ comme dans tout ce qui suit, aux valeurs absolues des quantités. Et comme le même raisonnement s'applique a fortiori aux diverses ordonnées comprises entre y, ety,^^l,on a nécessairement

d'où il suit que a et (3 seront infiniment petits en même temps que ht. D'après cela, on aura par la formule de Taylor

f (x, -4- a, yi -t- (3) = f< -t- cp.a h- i^,(3 (0 ,

et Tcquation (4) donnera

y,+i -H Syi+^ = y^ H- f,A, -♦- 1 (cp.a -f ^/(3) e , d'où, comme on a, par les équations (3), y.+i = y, -♦- f,/^,

^^'+1 = ^£(9.'5t -H ^.(3) = hM {(pa -^ '|,,3) < hi{\]ht -\- CMi,), d'où, enfin,

(5) dj/i+i < A,« (B + CA).

321. Après avoir ainsi déterminé une limite supérieure de dt/i+i, calculons les variations qu'éprouvent, par suite de la variation de f/i>i, les ordonnées suivantes yj^.^,..., y, et les directions des côtés du polygone à partir du point M^+i. La variation dd^i du coefficient angulaire du côté Mi^i M,.f.s9 produite par la variation dyi+i de l'ordonnée du point M.+i, a évidemment pour expression

3ff+i == ^ (X14.,, y.+i) 5y^ „

et d*autre part, un coup d'œil jeté sur la figure montre que l'on a

5y.+« = 5yf+i -♦- hi^i . 5f/+i = (îy.4.1 (1 -+- ft.+i '^i+i).

On aura de même

d'où

Les facteurs qui multiplient Syi^i peuvent être supposés positifs, les Ai étant très-petits; d'autre part, on a, quel que soit 2,

e*= \ -4-^-4- --Tr e^'y> i -\- z,

(1) Nous posons, pour simplifier, f(a'<, yi) :=f^, ?(^<7y>) = ?') ^tc.

d'où

(I -h /».+, ^.+t) ... (i +/u t '];0 < eVi^.>.+- +*-i'^— I.

Mais nous avons

d'où

d*où enfin, en ayant égard h la relation (S),

$y < //,« (B -4- CA) e«('— ), ou, en désignant par P la quantité finie et déterminée (Bh- CA) e<^(""'«»),

(îy<A,«P.

On a donc une limite supérieure de la variation qu'éprouve l'ordonnée y lorsque Ion subdivise Tun des éléments ho, Ai,..., Ancien autant de parties qu'on le veut. Nous avons dans ee calcul, considérant hi comme infiniment petit, négligé les quantités d'ordre supérieur h celles que nous voulions calculer, mais le calcul exact ne changerait les valeurs de f,-, 9,, ^'9 ^1+1 V <iue de quantités tendant vers zéro avec A<, et il est facile de s'assurer que cela ne modifierait en rien la conclusion.

Supposons maintenant que l'on répète la même subdivision sur chacun des éléments Ao, Ai,..., A^^i; comme P est indépendant du nombre des éléments existants, y éprouvera successivement une suite de variations respectivement inférieures à PAo*, PAi*,..., PA„i', et dont la somme sera

% < P(Ao* H- Al* H H An-i') = P{x — Xo)M(Ao, Al,..., A««i).

Ainsi, les éléments Ao, Ai,..., An-i étant considérés comme infiniment petits, la variation totale qu'éprouvera l'ordonnée y, correspondante à l'abscisse x, lorsque l'on subdivisera chacun de ces éléments en autant de parties que l'on voudra, sera elle-même infiniment petite : ce qui indique évidemment que l'ordonnée y tend vers une limite fixe quand les éléments A, décroissent indéfiniment. La même chose a lieu, évidemment, pour l'ordonnée correspondante à une abscisse quelconque entre Xo et x, et pour les valeurs correspondantes de f (x, y), en sorte que les côtés du polygone tendent aussi vers des directions fixes.

392. Remarques. I"" Le lieu des points limites des sommets du polygone est indépendant de la loi suivant laquelle on partage l'intervalle x — Xo en éléments infiniment petits Ao, Ai,..., A„i. Car deux modes de division qui

se rapportent à des lois différentes peuvent toujours être renfermés dans un même troisième qui sera comme une subdivision des deux premiers. L'ordonnée y calculée par le troisième mode différera de chacune des ordonnées y calculées par les deux premiers modes, de quantités qui seront, d'après ce que nous venons de voir, de l'ordre des divisions; elle tendra donc vers la même limite que chacune d'elles : celles-ci ont donc même limite.

^ Les conditions relatives aux fonctions f (x, j^), (p(x,y), ^(x,t/) ont été, pour plus de facilité, supposées satisfaites entre les valeurs Xo et x de la variable X, quel que soit y ; mais tout ce qui précède subsistera si les fonctions vérifient ces conditions entre certaines valeurs xoàza de x, yo db 6 de y, pourvu qu'on ait en outre Aa <^ 6, condition qui sera toujours satisfaite en réduisant convenablement la valeur de a, et x — Xo < a. £n effet, les équations (3) nous donnant toujours

»< — yo = (x, — Xo) M [f (xo, yo), f (xi, yi),. .., f(xi„ y^.,)],

on verra sans peine que si yo, yiv? y<-i sont compris entre yo=t:&, fo^ fi,..., ff i étant inférieurs à A, y, — y© sera moindre que Aa ou 6, y, sera donc encore compris entre yo àz 6, et ainsi de suite. Donc yo, yi,..., y restant toujours compris entre ces limites, les conditions exigées pour les fonctions f, (p, ^ dans notre démonstration seront toujours satisfaites.

3* Le lieu des points-limites des sommets du polygone MoMi...Mn-.iM est une courbe continue dont les coordonnées satisfont à l'équation différentielle proposée. Car, désignons par x, x+ Ax deux valeurs quelconques de la variable; par y, y+Ay les ordonnées de la courbe limite qui leur correspondent, et concevons que l'on passe de la première valeur y, à la seconde, en faisant passer la variable de x à x+Ax par un nombre indéfiniment croissant de valeurs intermédiaires. L'ordonnée y+Ay sera déterminée d'après la même loi que l'ordonnée y,+i -♦- 5y,+i au n" 320, et, en appliquant les formules (4) et (5) de ce numéro, on voit sans peine que

y -H Ay = y -^ f (x, y) Ax -♦- «,

on étant une quantité moindre que Ax^ (B h- CA) ; d'où

Ay = f (x, y) Ax -*- w.

Si l'on regarde maintenant Ax comme infiniment petit, Ay sera infiniment petit : la courbe, limite du polygone, est donc unm courbe continue.

Ensuite, divisiin par Ax et passant à lu limite, on trouve

ce qui fait voir que le coefficient angulaire de la tangente à la courbe est détermine, en fonction des coordonnées x, y, par Féquation (i).

393. Il résulte évidemment de tout cela que, Téquation difféi*entielle (1) étant donnée, il existe toujours une fonction y de x propre à satisfaire à cette équation, et de plus, à prendre pour une valeur donnée Xu de la variable, une valeur choisie arbitrairement yo, pourvu que les fonctions f, 9, ^, soient continues par rapport h x cik y dans le voisinage du point (xo, t/o). Bouilleurs, dès que yo est fixé, la courbe ou Fintégrale se trouve bien déterminée, comme nous l'avons fait voir : elle est donc une fonction déterminée de yo, qui entrera conséquemment dans Texpression de rintégrale comme une constante arbitraire. £n d'autres termes, l'intégrale d'une équation différentielle donnée ne peut avoir toute la généralité qu'elle comporte, si elle ne renferme, avec la variable x, une constante arbitraire C non comprise dans l'équation différentielle, et à l'aide de laquelle on peut faire prendre à t/ une valeur arbitraire yo, pour une valeur donnée de x : ce qui revient h faire passer la courbe par un point donné. Cette intégrale y=F(x, C) se nomme Y intégrale générale de l'équation (1) : toutes celles qu'on en tire par des valeurs particulières attribuées à la constante C sont des intégrales particulières. L'élimination de G entre l'intégrale générale et sa dérivée ramènerait identiquement l'équation différentielle (1), comme on l'a établi (518).

324. Réciproquement, toute courbe qui vérifie l'équation différentielle proposée doit dériver de l'intégrale générale par une valeur déterminée attribuée à la constante arbitraire C : car, si l'on dispose de celle-ci de manière à ce que, pour une valeur Xo de la variable, l'ordonnée de l'intégrale générale coïncide avec l'ordonnée t/o de la courbe proposée, comme la courbe qni part d'un point donné (xo, y©) et qui satisfait à l'équation (1) est parfaitement déterminée (322), ces deux courbes coïncideront nécessairement dans toute leur étendue.

Il y a toutefois une exception remarquable à cette loi : il peut se faire que, par le point (xo, yo) passent deux courbes tangentes l'une à l'antre en ce point, et satisfaisant toutes deux à l'équation différentielle. Et comme

la construction exposée plus haut n*en donne qu'une seule, il semble que la théorie générale se trouve ici en défaut. Mais, dans ce cas, il est facile de voir que, dans le voisinage du point {xo,yo), les conditions de continuité relatives h 9(x,y), ^(x,y), ne seront plus remplies; puisque, pour une abscisse Xo + Axo infiniment voisine de Xo, la difTérence des ordonnées des deux courbes, sera, en général, du second ordre par rapport à Axo, à moins que f (xo, t/o) ne soit infini, tandis que les tangentes aux deux courbes feront entr'elles un angle infiniment petit de même ordre que Axo (0. Un accroissement Sy de la variable y détermine donc un accroissement df de la fonction f qui est infiniment grand par rapport à lui, dans le voisi-

df uage du point (xo, ^0)9 et par suite, la fonction -7- = i{/ (x, y) est infinie en

ce point. Elle n*est donc pas continue.

Si cette exception ne se présente qu'en certains points particuliers du plan, elle n'influera pas sur l'exactitude du théorème énoncé plus haut, puisqu'il suffira de choisir le point (xu,yo) sur la courbe donnée, de manière à ce <]u'il ne coïncide pas avec un de ces points particuliers, pour démontrer l'identité de la courbe avec une des intégrales particulières de l'équation. Mais s'il arrive, comme on peut très bien le concevoir, qu'une courbe soit tangente, en chacun de ses points, à celle des intégrales particulières comprises dans l'équation y = F (x, C) qui passe par ce point, cette courbe vérifiera l'équation différentielle , puisqu'elle aura , en chacun de ses

points, mêmes valeurs de x, y, --^ qu'une courbe qui y satisfait. Et cependant, généralement, elle ne sera pas comprise dans l'intégrale générale, celle-ci ne déterminant pour chaque point donné du plan qu^une courbe, qui est une intégrale particulière. Une telle intégrale, qui vérifie FéquatioQ différentielle sans être comprise dans l'intégrale générale, se nomme une solution singulière.

On voit par là qu'une solution singulière satisfait aux conditions sui- Tantes, qui serviront à la déterminer : i"" elle représente une courbe qui est tangente à toutes les intégrales particulières, et qui en est conséquemment le lieu des points d'arrêt, de rebroussement ou d'inflexion [elle ne saurait en être l'enveloppe proprement dite, car pour cela les intégrales

(f ) Plus gcuéralement, la différence des ordonnées sera infîniment petite par rapport h Tangte des tangentes correspondantes (163).

particulières devraient se couper généralement deux à deux; f(x,y) admettrait donc au moins deux valeurs en un même point {x^y) du plan]; 2** la solution singulière satisfait, en chacun de ses points, à Téquatîon f(x,f/) = 00 , ce qui ne peut convenir qu'à une droite parallèle à Taxe àes y ; ou à Féquation i{/(x, y)= oo .

Soit, comme exemple, Féquation différentielle

Elle a pour intégrale générale, comme on le vérifie aisément,

et en outre, elle admet la solution singulière y=x, qui satisfait à Féqu tion différentielle et ne peut coïncider avec Tîntégrale générale pour aucu valeur constante de C. Or, on a ici

et cette fonction devient infinie par Thypothèse y==x. On voit facileme que la droite y=x est le lieu des points de rebroussement des courbe que Ton tire de l'intégrale générale par la variation du paramètre GO)