PROCÉDÉS PARTICULIERS
35!l. En dehors des équations linéaires, on ne sait intégrer qu'uK KLJin petit nombre d'équations diffcrentielles de formes particulières. Noukl-Vus allons indiquer les principales.
Équations oà manque l'une des variables. — Lorsque Tune des vari»^ ^*" bics or, jj manque dans lequation, Tordre de celle-ci s'abaisse d'une unilS^^^* Ainsi, il suffit de poser D^y = p pour ramener l'équation du second ordr» '•^ ^^^
Celte équation, étant intégrée, donnera p en fonction de x avec un
ne
constante arbitraire. On aura donc
P « ^ = 9(^' C), y = /?(x, C) dx + C„
ce qui sera l'intégrale générale.
Si réquation proposée était
ia même substitution donnerait
dy d^y dp dp
dx "' dx' dx ^ dy
ot en intégrant Téquation du premier ordre
f on trouverait
p =3 m fv. C), cix = — = — j X = Cl -^ I — - — •
Soit, comme exemple, l'équation
<ïlle devient, par la substitution dy=pdx,
dp ^ ^ dp p
^■^ divisant par py. L'intégrale de cette équation linéaire étant
;) = y (C + fw 1 . y) « tny 1 . C'y ,
Oli
J: c=a mv 1. C'v, nidx = , '{,, > mx -+- Ci •= 1. 1. Cy.
dx ^ ^' yhCy ^^
**où, enfin,
96S. Équations qui ne renferment que deux déi'ivées consécutives. ^^5 particulier des précédentes. Soit l'équation du second ordre
:* \dxj
la substitution indiquée plus haut donnera
^ = f(p), dx=^. a: = C^Cj^.
dx ^^^' f(p) jf(/>)
Intégrant et résolvant par rapport à p, on tirera de cette équation p«(p(x, C), y = Ci 4./9(x,C)dx,
et Ton aura Pintégrale générale.
Ainsi, réquation
dx* V ^^
devient
dp / , dp
dx '^ ^ ' y/i H-p«
On en déduit par Tintégration
X = C -^ 1. (p 4- |/i -+- p«), p -*- |/l-+-p«= C-S 2p = ««-c— c-('-''), et par suite,
Remarque. Si Ton éprouvait trop de difficultés h tirer de Téquation entre x et p la valeur de p en r, on trouverait y en fonction de p par réquation
et rélimination de p entre les expressions de x et de y conduirait à l'intégrale cherchée.
En généra], l'équation
cfx" yrfx"-*y
s'abaissera au premier ordre, si l'on posez=D''-*,y, ctjaprès avoir intégré, on exprimera z en fonction de jr, puis on trouvera la valeur de y par /i — i quadratures successives (351).
