IX

pement de i 1 h — i est moindre que le terme de même rang de la

série indéfinie dont e est la somme. La variable [ 1 h — J , qui croît

toujours sans pouvoir dépasser une quantité donnée c, a nécessairement une limite égale ou inférieure à e.

Soit e une quantité, prise aussi petite qu'on le veut. On peut choisir un nombre k suffisamment grand pour que la somme

des fc-H 1 premiers termes de la série (3) soit comprise entre e et e — e; ce nombre étant fixé, on peut donner à m une valeur suffisamment

grande, pour que la somme des A: -h 1 premiers termes de ( ^ "♦" "" )

diflFère, de la somme des fc -*- i premiers termes de la série (3), d'une quantité moindre que e, et soit par conséquent comprise entre e et e — 2e ; donc aussi

m étant suffisamment grand. On a donc

lim ( 1 H j = c.

Supposons, en second lieu, que a tende vers zéro suivant une loi quelconque, mais en restant positif; et soient m, wi-vl deux nombres entiers

consécutifs, entre lesquels - demeure compris. On aura donc

et par suite

V^ m-^yj y mj ^\ m) \ mj

D'autre part

Lorsque a tend vers zéro, m et m + i croissent indéfiniment; 1 h — ,

i H ont pour limite l'unité, tandis que, d'après ce qui a été établi,

l 1 H-— ) ) ( ^ -^ 7 ) <^"^ pour limite commune e; (1 -»- a)«

est donc compris entre deux quantités qui ont une même limite e, et tend vers cette limite.

Il nous reste à considérer le cas où a, en tendant vers zéro, serait constamment négatif. Nous poserons

et comme 1 -h a est ici moindre que l'unité qui est sa limite, il faut que 1 -+- (3 soit > i, donc (3 est positif et tend vers zéro. Or, nous avons

De ces deux facteurs le premier a pour limite c, d'après ce qui pré-

cède; le second a pour limite l'unité; le produit, ou (i -*- a)*, a donc encore pour limite e.

Il résulte de tout cela que, de quelque manière que a tende vers la limite zéro, on a toujours

lim (1 -*- «)« = e.

La série (5) permet de calculer le nombre e avec autant d'approximation qu'on le veut : on trouve

Ce nombre joue un rôle très-important dans l'analyse (15).

Corollaire. On déduit de ce qui précède la limite de -^ -^ a tenue

dant vers zéro. Il suffit de poser

a d'où

l.(i-+-cf)« = z, (i 4- a)« = e%

et comme le premier membre de cette dernière égalité a pour limitée,

on a

lim e' = e,

d'où

Uni z = lim — = i .