Considérons encore les équations de la forme
et, désignant toujours par p la dérivée première de y, nous aurons (352)
et, en intégrant,
p« = 2/f(y)dy + C.
D'où nous tirerons, en remplaçant p par sa valeur,
'^ /C + 2/f(y)dy
et, au moyen d'une nouvelle quadrature,
|/C-H2/f(y)dy De même, si l'on avait une équation telle que
dx" \dx*-*/ on commencerait par poser zs^D"'*,]/, et par intégrer l'équation
tPz
comme ci-dessus. La valeur de x en fonction de z étant connue, on en déduirait celle de z en fonction dcx, puis la valeur de y en x s'obtiendrait par n — 2 quadratures successives.
S55. Équations homogènes. — Lorsqu'une équation du second ordre, multipliée par dx', est homogène par rapport h x, y, dfx, dy^ d^y^ consi* dérés comme autant de variables, on élimine facilement x et dx de l'équation. Pour cela, on posera
X ' dx ^^ rfx* X
et comme j^, dy, d*y sont ainsi remplacés par des fonctions du premier degré en x, dr^ il est clair que l'équation transformée sera homogène par rapport k x, dx. Mais la différentielle dx ayant évidemment disparu de réquation, il faut nécessairement que x ait disparu en même temps, en sorte que l'équation ne renfermera plus que u, p, q. Ainsi, l'équation
,rf*t/ dy
dx* dx -^
satisfait k la condition proposée, et devient par la substitution indiquée
X* - — /îx — Tiux = 0, ou q=:p ^ nu.
Cela posé, soit
réquation entre m, /î, y, résolue par rapport à q. Les équations
y = vx, dy = pdx
donnent facilement, comme on Ta vu (556),
, . dx du
et, d'autre part, on a évidemment
d^y dp q dx dp
dx' dx X X q
ou, en égalant les valeurs de dx, et mettant pour q sa valeur en u, p,
Cette équation du premier ordre entre u et /} pourra s'intégrer, dans certains cas, et conduire à une valeur de p en fonction de t/, renfermant une constante arbitraire ,
Substituant cette valeur dans l'équation (a), on trouvera
dx du 1 n ( ^^
— ==—7 — 7n ' l.X-t-Ci=\— ; — -pr >
et, en remplaçant u par sa valeur y : x après IMntégration, on aura l'intégrale générale entre x et j^.
Par exemple, l'équation indiquée plus haut nous donnera
— = ■ ou (p — tt) dp — (p -+- nu) du = 0,
équation facile à intégrer, si on l'écrit
pdp — nudu — {udp -4- pdw) = 0.
L'intégrale est
p* — nu* — 2pw = C, ou p=zuàz [/C -h (nn- 1)m*,
et réquation (a) devient, par la substitution de p,
dx du
Intégrant de nouveau et remplaçant u par sa valeur y : x, on trouvera enfin
S56. Lorsqu*une équation de l'ordre n est homogène par rapport à y, -t^» j4»"*' ^" P^"* abaisser d'une unité Tordre de l'équation, en posant
dl p^,. d*y
dx
I* * à.*y du dy fdu \
La variable y disparait comme facteur à tous les termes de l'équation, et Ton a, entre u et x, une équation de l'ordre n — i.
S57. Intégration par les séries. — Le nombre des équations différentielles que l'on sait intégrer sous lorme finie étant très-petit, on a dû recourir aux méthodes d^approximation. La marche que nous avons suivie pour établir l'existence de l'intégrale (voir les ch. XXXVII et XL) permet de calculer les valeurs de l'intégrale t/, pour des valeurs données de x, avec autant d'approximation que l'on veut(0, mais cette méthode est trèspénible. Le développement de la fonction intégrale y en série convergente, lorsqu'il est possible, convient mieux au calcul de cette fonction. On peut employer pour cet objet la formule de Taylor ou celle deMaclaurln, l'équation différentielle de l'ordre n permettant de calculer toutes les dérivées de y, à partir de cet ordre, en fonction des n — i premières, qui restent arbitraires, pour la valeur x = Xo ou x = de la variable. Mais on admet ainsi que l'intégrale est développable en série convergente suivant les puissances entières, positives et croissantes de x ou de x — xo. La méthode des coefficients indéterminés est plus générale : voici en quoi elle consiste.
L'équation différentielle entre x et y étant supposée réduite h un polynôme rationnel et entier par rapport à y et à ses dérivées, égalé h zéro, on
(i) On peut voir le développement de celte méthode dans les Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral de M. l'abbé Moigno, t. II, 27« et 28» leçons.
cherche h satisfaire à Tëquation par une expression de la forme
a, |3, y, d,.** ëtant des exposants quelconques, mais croissants; A, B, C,* D,.** des coefficients constants. On forme les dérivées de y diaprés cette équation, et, substituant leurs valeurs dans le premier nombre de l'équation donnée, on ramène ce premier membre à la forme d'une série ordonnée suivant des puissances croissantes de la variable x. Les coefficients des diverses puissances de x devant être nuls séparément, pour que l'équation soit satisfaite quelque soit x, on obtient ainsi une série de conditions qui déterminent les exposants a, (3, y,..., et les coefficients A, B, C,..., sauf un certain nombre d'entr'eux qui restent arbitraires et sont les constantes arbitraires de l'intégrale générale.
Il reste alors à vérifier si ces valeurs de a, (3,..., A, B,..., substituées dans l'expression de y, donnent pour y et pour ses dérivées successives des séries convergentes, car cette condition est nécessaire (251). Appliquons cette méthode à l'équation
où nt, n sont des constantes données. La substitution, dans le premier membre de cette équation, des valeurs
y = Ax°''^ Bx^ -+- Cx-^H ,
!^ = Aax«-» -H BSx^-* -4- CyxV-* -h -., dx
^= Aa(a— i)x«-« -^ B(3((3 - l)xM ^ Cy(y— i)xy-« + ...,
donne, en groupant les termes en A, B, G,..., [a(m-4-a— i)x*-*-4-nx«]-^B|p(mH-P— i)x^«4-wx^] + C[y(m-*-y---l)xy-«-4-nxy]+
L'exposant a. — 2 est moindre que tous les autres : il faut donc que le coefficient de x*"* soit nul; donc, on doit avoir
a = ou m -*- (X — 1==0.
Adoptons d'abord la première valeur; le terme en x« ne peut être nul, k moins qu'il ne se réduise avec l'un des suivants. Nous poserons donc
et, égalant k zéro les coefficients des diverses puissances de x, nous aurons
An-4-B(3(m-Hp— 1)=0, Bn-4-Cy(m4-y— 1)=0, C/i-«-D(î(m + 3 --i)=0,...
Nous déduisons, de ce double système d*équations,
wA n^A n^A
