m-^1)' 2.4 (m -h 1) (m -^3)' 2.4.6(m-^1)(mH-5)(m

et la valeur de y devient, par la substitution,

1" nx* n*x* w'x* "|

"^ L 2(tn-^i) ■*" 2.4(m-4-1)(m-4-3)'"2.4.6(m-^i)(m-^3)(mH-5)'*"" J

Le coefficient A reste seul arbitraire : ce n'est donc là qu'une intégrale particulière. Mais nous en obtiendrons une seconde en adoptant pour a la seconde valeur, et en admettant encore les mêmes relations entre a, (3, y... Nous aurons ainsi

a = i — m, (3 = 3 — iw, y=5 — m....,

nA ^ n*A ^ n'A

et, par suite, nous obtiendrons Tintégrale particulière

r, wx* n*x* n'x* T

L 2(m-3) 2.4(iw— 3)(m— 5) 2.4.6(m— 3)(m— 5)(fit— 7) J

A peut désigner des constantes différentes dans les équations (2) et (3). L'équation proposée étant linéaire et sans second membre, la somme des deux intégrales particulières (2) et (3), renfermant chacune une constante arbitraire, donnera l'intégrale générale avec deux constantes arbitraires.

Le rapport d'un terme de rang p + 1 au précédent est, dans les deux séries respectivement^

wx' nx*

Ces rapports tendant vers zéro pour les valeurs indéfiniment croissantes dep, les séries restent convergentes quelque soit x, et Ton voit facilement qu'il en est de même de leurs dérivées première et seconde. Ainsi, la solution trouvée répond bien à l'équation (1). Il y a exception lorsque m est un nombre impair négatif, car alors les termes de la série (2) deviennent infinis h partir d'un certain rang; et lorsque m est un nombre impair positif, la série (3) devenant alors illusoire. Dans l'un et l'autre cas, nos formules ne fournissent donc plus qu'une intégrale particulière de l'équation différentielle, et h l'aide de cet intégrale, on peut ramener l'équation au premier ordre comme nous l'avons expliqué (347).

1mm jî sa? vsrneuuB vi ■ = 2. Ilntégrale générale de J'cquat Tsour ft

iT i^i^î / 'V 1-2 125 4

c .*!■. ' iLMiin r soif MA* çof cctie êquadoo rerient à celle-ci :

AflxxL ■ A'cosxi/ïi 1 = — -I ^ — .

?t a ^ !. ^janefrùa 7 ôi^j-s: îllusoirr, d 1 oo o'a plus qu'une

<ff = 1 f t -*^ h ••• I

£jnr»h<:if».

%■ -*,*.*■* <-i— I -4- Zr — =0.

^ * ^ J V^ZCp — a V

DM«tw«s «e Kalennant que deux dérirées consécuCives (553) :

Equations appartenant au type du n^ 353 :

cto"

Equations homogènes (355, 356) :

d*y du* «S. a:«^-.aj^-3y = 0. R. a:» = C, (y-hV/y«-hCx«).

Intégration par les séries :

dv da;

daj* dx

Ce n*est qu*une intégrale particulière.

• ^~" L ~(«4-l)(nH-2)"*"r2.(«4-I)(2nH-3)(n-^2)*~1.2.3(w+I)(2n4-3)(3nH-5)(n+2)» "*■''] L (n-h5)(n-4-2) 1 .2(«-*-3) (2n-4-5) (n-h2)« 1 .2.3(n-h3)(2n-4-5)(5îH-7j(n-h2)» J