INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES

S5§. Soient X, y, ^9*.«, ti, des fonctions, en nombre n, d*unc même variable indépendante f, définies par un système d^équations du premier ordre, que nous supposerons d'abord résolues par rapport aux dérivées de X, y,..., ti, et mises sous la forme

— =f„(ar,y,...,M, 0-

Si Ton applique à ce système d'équations, en la généralisant, la méthode que nous avons indiquée au chapitre XL, § 1, pour un système de deux équations, on démontre qu'il existe toujours un système de valeurs pour ar, y,... w, capables de satisfaire aux équations (1), et de recevoir, pour une valeur donnée fo de la variable, des valeurs données arbitrairement xo, yo,..., t/o. Il faut et il suffit, pour cela, que les fonctions f, et leurs dérivées partielles du premier ordre en a-, y,..., w, (, soient finies et continues dans le voisinage du système de valeurs Xo, yov? ^'o, /o. Ces intégrales^ renfermant n constantes arbitraires Xo, yo,.--? ^c ou n autres constantesCi, C«,...,Cn qui permettent de choisir arbitrairement les valeurs de X, y,.. , w, pour une valeur donnée to de la \ariable, se nomment les intégrales générales du système (1). Toutes celles qui en dérivent par

raltribution de valeurs particulières aux constantes Ci, Gs,..., sont des intégrales particulières, La méthode rappelée permettrait d*ail]eurs, étant donnés Xo, ^ov9 ^o pour une valeur (o de f, de construire avec autant d'approximation qu'on le voudrait les courbes qui sont la représentation géométrique des intégrales.

S59. L'une des méthodes les plus commodes, pour l'intégration d'un système d'équations de la forme (i), consiste k éliminer, par des différentiations successives, toutes les fonctions inconnues sauf une seule, dont la recherche dépend de l'intégration d'une équation de l'ordre i>, h deux variables.

Différentlons les deux membres de la première des équations (1), ce

dx du du qui introduira dans le second membre les dérivées -r- ? -r>"«* -p» înul- ^ dt dt dt

tipliées par des fonctions connues de ac, t/,..., t/, t. Remplaçons ces dérivées de y, ic,..., u par leurs valeurs, données par les n — i dernières équations (1); nous aurons évidemment un résultat de la forme

d^x f dx \

■jji = ?. [^, j^> y,..., «, t)-

Dérivant de nouveau par rapport à ( et éliminant les dérivées de y, z,..., ti de la même manière, nous trouverons

d'x / dx d*x \

et ainsi de suite, jusqu'à ce que nous arrivions à une équation

d^x / dx d'*""*^ \

— =<fn..[x, ^^,..., ^p^, y,..., «, tj.

Les n — 1 équations que nous venons de former, jointes à la première équation (i), forment un système de n équations entre lesquelles on peut éliminer les n — i variables y, z,..., «, qui n'y figurent plus par leurs dérivées, et cette élimination conduira à une équation de l'ordre n par rapport à x,

ci"x / dx d"~*x \

dF = 'P"(^''' ¥'•••' rfFî-' 7

L'intégration de cette équation donnera x en fonction de ( avec n constantes arbitraires Ci, Cs,..., Cn. Les valeurs de y^ ^v» ^ se trouveront

ensuite sans nouvelle intëgration, en résolvant, par rapport à ces varia — :. blés, n — i d'entre les équations

dx cPx d*x

après qu'on y aura remplacé x et ses dérivées par leurs valeurs en fonctia de t. On aura donc y^ z^.,, en fonction de ( et des mêmes constantes arbi traircs Ci, Ga,... qui figurent dans l'expression de x.

S60. Intégration des équations linéaires à coefficients constants, - Lorsque le système (1) sera formé d'équations linéaires par rapport h y,..., ti, il est visible que toutes les équations que l'on en déduira par dc^^ es différentiations successives seront aussi linéaires, et qu'il en sera encore dEzzade même de l'équation finale en x. L'intégration d'un système de n équation^Kins linéaires du premier ordre dépendra donc de l'intégration d'une équation — »n linéaire de l'ordre w , et de plus, si les coefficients des premières so^k «nt constants, l'équation d'ordre n sera à coefficients constants et s'intégres: ^ra sans difiiculté par les métbodes exposées précédemment. Appliquons celt«..Vlte méthode au système de deux équations

dx

dt ^

Diffcrentiant la première, et remplaçant -^ par sa valeur fournie par h

seconde, on a

d^x dx

puis, remplaçant y par sa valeur tirée de la première équation,

rf*x dx

TT -^ 7 - -t- 6x = 7 -^ 58« — 58e'.

dt* dt

Intégrant d'abord l'équation sans second membre, on trouve l'équati — 3^" auxiliaire

,.« ^ 7r 4- 6 = 0, d'où r, = — -I , ri=:-^(}y

et l'intégrale générale

x = Cie-'-*-C2e-«'.

Pour avoir une intégrale particulière de Fëquation avec seeond membre, il suffit d'y substituer

et les valeurs de a, (3, y, seront trouvées

Ajoutant eette intégrale particulière h l'intégrale de l'équation sans second membre, on aura l'intégrale générale de l'équation en x, savoir

On remplacera x et sa dérivée par leurs valeurs dans la première des équations proposées, et Ton aura

Si l'équation auxiliaire renfermait des racines imaginaires ou des racines égales, on appliquerait les règles qui ont été prescrites pour ces cas au chapitre XL.

S61. Lorsque l'on suivra cette marche pour l'intégration d'un système d'équations de la forme (1), on sera généralement conduit, comme nous l'avons dit, h une équation différentielle de l'ordre n entre deux variables ; mais il pourra arriver, dans certains cas particuliers, que l'équation finale en X soit d'ordre inférieur à n. Si, par exemple, il suffisait de différencier n — 2 fois l'équation

pour que les variables y, ?,...^ u disparaissent toutes, lëquation entre x et ( serait de l'ordre n — 1, et donnerait une valeur de x ne renfermant que n — i constantes orbitraires. Mais alors aussi l'on n'aurait plus que n — 2 équations distinctes pour exprimer les n — i variables y, z,..., w en fonction de t et de ces n — -1 constantes, et Ton devrait faire une nouvelle intégration. Ainsi, portant les valeurs de ic,..., u dans la seconde des équations (1), et remplaçant x par son expression déjà connue, on aurait une équation du premier ordre entre y et {, équation dont l'intégration introduirait une nouvelle constante arbitraire, qui compléterait les n constantes nécessaires pour l'intégration complète du système (1).

SM. Il est quelquefois plus simple de suivre une méthode différente, dans l'intégration du système (1). Cette méthode, qui s'applique aux équations linéaires à coefficients constants, a Favantage d*étre aussi parfois applicable h des équations linéaires k coefficients variables, et nous pren* drons pour exemple un tel système. Soit

-^ -*. T (ax -♦- 6^) = T

T, Ti, Tt étant des fonctions de t. Multipliant la seconde équation par un facteur indéterminé X, et ajoutant les équations membre à membre, on obtient

^ -♦- X ^ H- T [(a -h la') X 4- (6 + }.6'j y] =T, -♦- XT«.

Or, si Ton pose x + >y = V, et si Ton détermine la constante X d'après la condition