i6' = i(a-f-Aa
l'équation différentielle deviendra une équation linéaire du premier ordre
^ + (a + Xa'jTV = T, -^-IT, ,
dont l'intégrale générale sera
V = X -♦- /y = e-<«+^« VT'i' [C -4- / (Ti -♦- AT») e<«+^«'»/Trf'd(].
L'équation qui détermine 1 est du second degré, et admet deux racines Xi, Xs. Substituant successivement ces deux racines dans l'intégrale ci-dessus, et désignant par Ci , d les constantes arbitraires correspondantes, on aura, pour déterminer x et y en fonction de t, deux équations du premier degré.
868. Lorsque les équations (i) ne sont pas linéaires h coefficients constants, l'application de la méthode générale du n» 559 conduit rarement à une équation différentielle finale que l'on sache intégrer. Mais parfois l'introduction d'une nouvelle variable permet de rendre linéaire un système qui ne l'était pas. Par exemple, si l'on avait le système non-linéaire
rfx e/y dz
ax -♦- 6y H- cz -4- / o'x -h 6'y -i- c'z -♦-/'"" a''x -t- 6"y -*- c"z -♦- /''*
a, 6,.** h a'"- étant des constantes, on introduirait une variable ty dont la différentielle dt serait égalée à Tun quelconque des rapports précédents, et Ton intégrerait sans difficulté le système linéaire
dx . I ^y , ^^ //
dt ^ ' dt ' dt
après quoi l'élimination de t donnerait deux équations entre rr, i/, z.
La forme particulière des équations que Ton a à intégrer suggère fréquemment d'autres transformations élégantes qui simplifient l'intégration, mais il n'y a pas de règle générale à donner.
364. Équations simultanées des ordres supérieurs au premier. — La méthode générale du n° 559 s'applique facilement h des équations simultanées d'ordres quelconques. Concevons, pour flxer les idées^ deux équations entre x, y, t, dans lesquelles l'ordre de la plus haute dérivée soit marqué par 2 pour x, par 5 pour y, et supposons les deux équations réso-
d^x d^u lues par rapport à -7-^5 -r^- On peut réduire ce système à un système
de cinq équations du premier ordre : il suffit de poser
^f^^ ^-^^ él^un dt-""' dt~y' dt~^'
et les équations données se réduisant à la forme
= fi (x, y, x', y', y", t), "^ = ^* (^^ ?' ^'» V'^ V"^ 0»
on aura, entre les six variahles x, y, x', y', y", t un système de 5 équations, semblahle au système (1). On en conclut immédiatement que le système proposé admet comme intégrales générales deux fonctions x, y de i, renfermant cinq constantes arbitraires. Si l'on avait trois équations du second ordre
d X d^ii d^z
on pourrait leur substituer le système de six équations du premier ordre
dx ^ dy ^ dz ^
dt ^ ^ dt ^ ' dt ^
dx' ' dt/ dz'
— = fi (x, y, z, 0, ^ = ^« (^» y» ^» 0» "51 "" ^' ^^' ^' ^' ^^*
L'intcgration de ce système et rélimination des variables auxiliaires a/, y', z* donnerait un système d'intégrales générales en x, y^ z, <, avecrà; constantes arbitraires.
En général, on voit par cette méthode que si le nombre des fonctions inconnues est désigné par k^ si les ordres des plus hautes dérivées qui entrent dans les k équations sont respectivement m pour x, n pour j^,.**)'* pour t/, les équations données étant d^aillcurs résolubles par rapport à ces dérivées de Tordre le plus élevé, on pourra satisfaire au système des équations données par des valeurs de or, i/,..., t/, fonctions de ( et de m -♦- n -♦- ••• -4- r constantes arbitraires; et ces valeurs seront les xnikgrales générales du système.
Après avoir ainsi réduit le système d'équations proposé à la forme (1), par l'introduction de nouvelles variables, on peut lui appliquer sans difficulté la marche tracée au n° 559. DiiBFérentiant successivement un nombre suffisant de fois Tune des équations, et éliminafit les dérivées premières de toutes les fonctions, sauf une, à mesure qu'elles s'introduisent, on parviendra à éliminer aussi ces fonctions, et à lormer une équation difi'ércntielle d'un certain ordre entre t et la fonction restante. L'intégration de cette équation fera connaitre cette fonction, et par suite les autres.
Ainsi, le système de deux équations du 2™" ordre en x et du 5™« ordre en y, conduira à une équation finale du 5™° ordre entre x et t; le svstème de k équations de l'ordre m en x, de l'ordre n en y,... de l'ordre r en u, conduira à une équation de l'ordre m -♦- n -t- •••-+- r entre x ci l; si on sait l'intégrer, une simple résolution d'équations fera connaître les autres fonctions inconnues y, i?,..., v.
S65. C'est pour la clarté de l'exposition que nous avons admis que Ton réduisît d'abord le système proposé à un système d'équations du premier ordre; mais si l'on veut lui appliquer la méthode que nous venons de rappeler, cette réduction ne sera pas nécessaire. On se bornera à former, par des différcntialions successives, de nouvelles équations entre lesquelles on éliminera les fonctions y, z,..., u, et leurs dérivées en t, jusqu'à ce que l'on arrive à une équation diflFérenlielle entre x et t seulement. Considérons, comme exemple, le système d'équations linéaires et à coefficients constants
Dîffërentiant deux fois de suite la première, puis remplaçant D*iy par sa valeur déduite de la seconde, on a
__3^H-4xH-4y-4-20=0,
d'où, par Télimination de y entre cette équation cl la première,
L'intégration de cette équation donne
X = (Cl -t- CâO e' -f- (C3 -4- C4e) e-' — 23,
clla substitution de cette valeur de x dans la première égalité conduit à
2y = (Cî — Cl — Cs() e' — (C5 -f- C4 -t- C4O e"' -4- 36.
On peut aussi, après avoir réduit le système proposé au premier ordre par Tintroduction de nouvelles variables, appliquer la méthode indiquée au n» 362.
866. Nous avons supposé, dans les différents problèmes traités ci-dessus, que les équations difTércnticIies fussent résolues par rapport aux plus hautes dérivées qu'elles contenaient. S'il en était autrement, on commencerait donc par opérer cette résolution, puis on appliquerait les méthodes convenables. Il pourra cependant se présenter des cas où une telle résolution serait impossible, l'élimination de certaines dérivées faisant disparaître en même temps quelques unes des autres. Par exemple, si l'on avait un système de trois équations du premier ordre entre x, 1/, z, (, et qu'en
éliminant -7-» on fît disparaître en même temps -~» il est clair que
l'on serait conduit à deux équations renfermant seulement la dérivée de z et les variables. Si ces équations n'étaient ni identiques ni incompatibles, l'élimination de la dérivée de z conduirait à une équation entre les variables seulement, sans constante arbitraire; on en tirerait z en fonction de X, ty, f, et l'on serait ramené à intégrer deux équations du premier ordre entre x, y et t. Les intégrales ne renfermeraient donc que deux constantes arbitraires.
Exercices.
dx du
cU al
R. a? = Cj(r' + C,c-^', 2y = — Cj^ -*-2CjC-".
dx dy
%, --4-3aî-t-y = 0, -2— x-f-y=:0.
at al
R. aj=(C,-t-CaO«^'i y = (Cj — 2Cj— 2Cj0c"*'.
S. — -4-5«-4-y=7c'— 27, -? — 2a?-h3y=:12 — Se*.
R. « = — ^ 4- 5j e* -*- (C, cos / -t- C j sin c-«,
y = -Ï7-j3«'-[(Ct-f-C,)cosf-(C,-C,)sin/]e-*'.
