CHAPITRE XLIII

s GÉOMÉTRIQUES DE L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

inc courbe se trouve diirmie par une relation qui n lieu es pninis entre ccrlnins éicmenis géométriques, tc)s que le rayon de courbure. In longueur de l'arc, etc., cette e par une équation entre les coordonnées de la courbe elles, du premier uidre ou d'un ordre supérieur. -Si l'on •ep cette équation difTérinticile, on trouvera l'équation ■bes qui vérifient la eondilion proposée.

Supposons, par exemple, que Fou demande la courbe dans laquelle la sous-tangente est égale à l'ahscisse du point de contact. La condition s'exprime évidemment par Téquation différentielle

dx du

-y^ = x, ou x^^+î,=0,

dont rintégralc générale est

xy = C.

Toute hyperbole qui a pour asymptotes les axes coordonnés repond donc à la question.

Si Ton demande que la longueur de la normale soit égale à la distance de rorigine au point où cette normale coupe l'axe des x, on aura l'équation difTérentiellc

'^yfx=^\/'-'Ë

ou

du 2xy / 4- x' — y* = 0.

Cette équation s'intègre facilement par le procédé indiqué au n** 336.

Posant y = vx, dy = pdx^ on a

w« — 1 ^pu — w' -*- 1 = 0, p = — 5

dx du 2m du

— = — —=^±LJL 1.x + 1.(1 -f.a«=l-C,

d'où enfin, en remplaçant u par sa valeur,

x« -t- 1/« — Cx = ,

équation qui représente un cercle de rayon quelconque, ayant son centre sur l'axe des x, et passant par Torigine.

368. On veut trouver la courbe dans laquelle taire S, comptée à partir de taxe des y, est proportionnelle à l'arc s compté du même axe. On aura

S = as , dS = ads, ydx = adx\/\'^ -y-^

et l'équation différentielle de la courbe sera

ou dx^± -

Oïl en déduit, en négligeant le double signe qui correspond à un simple han^^ment dans le sens des x positifs, et intégrant,

Tirant de là la valeur de r/, on trouve la chaînette

On sait en eflFct que cette courbe jouit de la propriété énoncée (ch. XVI, ex- 2).

3G9. L'un des problèmes les plus célèbres dans cet ordre de recherches est celui des trajectoires. Étant donné un système de courbes (Cj dont réquation renferme un paramètre variable a,

il s*agit de trouver une courbe qui coupe toutes les courbes du système sous un angle constant, dont la tangente est m. Soit M (x, y) le point où la trajectoire coupe Tune des courbes (C) du

système, -j- le coefficient angulaire de la tangente à la trajectoire en ce

point; (p et i{/ les angles que font respccti>cment les tangentes à la courbe (Q ctà la trajectoire avec Taxe des x. On a évidemment, les axes étant rectangulaires,

rfF dF , dy ,, ,

fou Von tire facilement la relation

dx dy dx \(ly dx drj

^te équation renferme encore, en général, le paramètre a, mais si

roa élimine ce paramètre entre les équations (1) et (2), on aura entre x,

du j^j- une équation qui conviendra à chacun des points de la trajectoire.

[ Vmti^iion de cette équation du premier ordre donnera toutes les courbes qui répondent à la question, et comme Tintégrale renfermera une eûaABQte arbitraire, on voit qu'elles seront en nombre infini, comme il Aait facile de le prévoir.

Supposons que les courbes (C) soient les paraboles

y — cAX" =: ; Tcquation (2) deviendra

— aax'^^^ -+- -r — w? { \ •+■ aax dx

M -t-aax''-* ~ j = 0,

ou, en multipliant par xdx et remplaçant ax" par y,

xdy — ay dx — m {x dx h- ay dx) = 0,

dquation homogène dont Tinlégralion n'offrira aucune difficulté. Suppos a = I ; rdquation précédente se réduit à ceJIe-ci :

xdy — ydx — m{xdx -^y dy) = 0,

dont on obtient immédiatement l'intégrale générale en la divisant x'-t-y*. On a

arctg^— -l.{x«-hy«) = C,

ou