x' H- v' = C H — arc tff
ou enfin, en introduisant les coordonnées polaires r et 6,
Ainsi les droites passant par l'origine des coordonnées,
y = (xx,
sont coupées sous un angle constant par les spirales logarithmiques comprises dans réquation ci-dessus, C étant un paramètre arbitraire.
370. Le problème des trajectoires présente deux cas particuliers remarquables: 1° L'angle d'intersection est nul, et la courbe cherchée touche toutes les courbes (C). Il faut faire m = dans l'équation (2), qui devient
rfF e/F dy
dx dy dx
et l'élimination du paramètre (a) entre cette équation et l'équation (1) conduira précisément (516) à l'équation différentielle des courbes (C). L'intégrale générale de cette équation sera donc identique avec l'équation (1), et ne représentera que les courbes données elles-mêmes. Si donc il
existe une courbe tangente à toutes les courbes (C), elle ne pourra être fournie que par la solution singulière de Téquation différentielle résultant de rélimînation de a entre l'équation des courbes (C) et sa dérivée. Cela s'accorde avec les propriétés des solutions singulières exposées au n» 524.
2° L'angle d'intersection est droit, et les trajectoires sont orthogonales. L'équation (2), où l'on fait m = oo , devient
dx dx dy
Ainsi, s'il s'agit des courbes paraboliques ^ = ax", on trouvera, pour l'équation des trajectoires ortbogonalcs,
du . ^ du
aax"~* -p -+- 1 -.= 0, ou a v -r -»- Jf^ = 0, dx dx
d'où
Les trajectoires sont des lignes du second ordre, ayant l'origine pour centre : ellipses si o > 0, Iiyperboles si a <C 0. Le cas o = 1 donne des cercles; a = — i donne le système orlbogonal
xy = a, x' — t/* = C;
les courbes du premier système sont des hyperboles équilatèrcs ayant pour asymptotes les axes coordonnés; celles du second des hyperboles équilatèrcs ayant pour axes les axes coordonnés.
871. Cherchons wwe courbe telle que les rayons vecteurs menés d'un point (x, y) de la courbe à deux points fixes F et F' fassent avec la droite FF' deux angles dont la somme est une constante a, et les trajectoires orthogonales du système obtenu par la variation de a.
Prenant pour axe des x la droite FF', pour axe des y la perpendiculaire en son milieu 0, FF' = 2c, on a
arc tff —^ 1- arc tg — - — = a,
ou
(a) x' — t/' — 2x1/ cot a^^c"^
pour l'équation des courbes cherchées; a est le paramètre variable. Ces courbes sont des hyperboles équilatèrcs passant toutes par les points F et
F', et ayant leur centre en 0. L'équation (3) devient
dy (x — y cot a) -r^ -¥ y -t- x cot a = 0,
clJC
OU, en ëliminant eot a au moyen de Tcquation ci-dessus,
(tx
On peut donner à cette équation la forme
(x' -t- !/* + c^)(ydy-\'xdx) — 2c*xdx = 0,
et le premier membre devient une différentielle exacte. L'intégrale générale est donc
(x* -+- y« + c«)« — 4c«x* = 3, (3 étant la constante arbitraire. Les courbes représentées par cette équation sont des cassinoïdes, dont chaque point est tel que le produit de ses distances aux deux foyers F et F' est constant, car l'équation peut s'écrire
(P) [i/«+(x4.c)'][i/« + (a:-cJ«] = p.
Les hyperboles («) elles cassinoïdes ((3) forment donc un système orthogonal (0.
37^. Lorsque les courbes (C) dont on cherche les trajectoires orthogonales, sont définies seulement par leur équation différentielle, on obtient immédiatement l'équation différentielle des trajectoires en remplaçant, dans
du dx
celle des courbes données, -^ par ;- • II résulte de là un second moyen,
' dx^ dy \
parfois plus commode, pour trouver l'équation différentielle des trajectoires orthogonales du système (i) : il consiste à éliminer d'abord a entre l'équation (1) et sa dérivée par rapport à x, pour former l'équation différentielle des courbes (C), puis à opérer comme il vient d'être dit.
373. La courbe dont la recherche fait l'objet d'un problème proposé n'est pas toujours donnée par l'intégrale générale de l'équation différentielle; elle peut être représentée par la solution singulière. C'est ce qui a lieu, par exemple, lorsque la courbe est définie par une propriété de
{i) On trouvera une étude complète Je ce système orthogonal dans Pouvrage de Lame (Leçons sur les coordonnées curvilignes^ IS"" leçon).
ses tangentes, et que chaque tangente, considdrëe isolément, est une ligne qui satisfait à la condition donnée. Ainsi, si Ton demande la coKrbe telle que le produit des segments compris^ sur deux axes rectangulaires, entre l'origine et une tangente quelconque soit égal à un carré fc*, on est conduit à l'équation
Mise sous la forme
y^pi±k[/^^),
cette équation rentre dans celle de Clairaut; elle admet i*» une intégrale générale
y = Cx±:/:|/^,
qui représente simplement l'une quelconque des tangentes h la courbe; 2? une solution singulière, résultant de l'élimination de p entre l'équation diflFérentielle Qt celle-ci :
X If: — = 0.
On en déduit, en éliminant y — p.
c'est l'équation d'une hyperbole dont les asymptotes coïncident avec les axes coordonnés.
374. La recherche d'une courbe d'après une propriété donnée conduit souvent à une équation différentielle, d'un ordre supérieur au premier : c'est ce qui a lieu, par exemple, lorsque le rayon de courbure figure parmi les éléments du problème. Soit à trouver la courbe dans laquelle le rayon de courbure est à la normale dans un rapport constant, La relation
a a étant une constante positive ou négative, donne l'équation
dx* a rfx* '
cqualioii qui rentre dans le cas du n* 352. On a donc
a (ix a dy doù
2af/y 2p dp
y ~"i-Hp«' d*où, par rîotcgration,
l (iH-p*)=l.y«--t-l.C, i +p«=Cy»»,
et, par suîlc.
^ = zb|/Ci,«--1, x = C.dzJ
L'intégration donnera réquation de la courbe, avec deux constantes arbitraires C, C|.
Supposons que le rayon de courbure soit égal à la normale, et dirigé dans le même sens : il faut prendre a = — i , d'où
OU
ce qui représente un cercle dont le centre est sur Taxe des x.
Si a = i, R = N, mais R et >" sont dirigés en sens opposé. On a, en posant C = a~',
J ^/yt a* \ « /
d'où Ton tire facilement
équation d'une chaînette.
Lliypothcse R= 2N conduirait, suivant que
a=- ou «= — 2'
aux équations
dont la première représente une parabole à axe parallèle à l'axe des y; la seconde une cycloïde ayant pour base Taxe des jt, le diamètre du cercle générateur étant la constante arbitraire C. Il est facile de vérifier que ces courbes jouissent de la propriété d'avoir le rayon de courbure double de la normale.
375. On tombe encore sur une équation du second ordre, lorsque Ton veut tirer l'équation d'une courbe en coordonnées rectangles, d'une relation donnée
entre l'arc s et l'inclinaison (p de la tangente à cette courbe sur l'axe des x. Cette relation, différentiée, donne en effet
H^-^Hm
Mais il est plus simple de ramener le problème à deux quadratures en prenant 9 pour variable indépendante. Les équations connues
dx du
=cos(p, ;^,= s.n9
donnent en effet, si Ton remplace ds par sa valeur en cp, cicp, et si l'on intègre,
x=C -f-y f'(9)cos çrf^, y=Ci -♦-yf (9) sin cpd^.
On peut négliger les constantes C et Ci, parce que cela revient h déplacer l'origine des coordonnées, et n'introduit aucun changement de forme dans la courbe. L'élimination de 9 entre ces deux équations conduira à l'équation de la courbe entre x et y, avec deux constantes arbitraires. Ainsi, de l'équation 8 = a(p, on tirerait -
x=aycos(pd(p = a sin 9, y= — acoscp,
et, par l'élimination de 9,
équation qui représente un cercle de rayon a, dont le centre est en un point quelconque du plan.
Le problème de trouver une courbe définie par une équation R = F (9), entre le rayon de courbure et l'inclinaison de la tangente, se ramène au précédent par la relation ds = Rd(f. On aura donc
(7) x=/F(9)cos9rf9, y=fF{(f)sin<pd(f.
Ainsi, réquation R = (if donnerait
x=a (cp sin 9 -H cos :p), y = a (sin 9 — 9 cos (p) ,
d'où
xcos®-t-t/sin cp = a, xsincp — y cos 9 = 09,
d'où, en élevant au carré et ajoutant,
Éliminant enfin 9, on trouvera
i/x* -+- v* — a* . i/x* -♦- V* — tt*
X cos^ î^ h V sin ^ = a,
ce qui est Téquation d'une développante de cercle.
376. La recherche des développantes, la développée étant donnée, se ramène encore à ce qui précède, si l'on suppose connue l'équation o' = f (0) de la développée, entre Tare et l'inclinaison de la tangente. Soient, en cflFet, (x, y) les coordonnées d'un point de la développante, R son rayon de courbure, 9 l'inclinaison de sa tangente sur Taxe des x. Les relations connues (154) conduiront à celles-ci :
R = (T-4-C = f(9) 4-C, 9 = erb-,
et les équations (y) deviendront x = db C cos 9 qz/f (0) sin 0rf0, t/ = ± C sin ± /f (9) cos 0d9,
La constante C reste arbitraire. — Supposons, par exemple^ que la développée ait pour équation
(T= f (0)= o26*(a« cos« -h 6' sin* 0)"* .
Nous trouverons sans difficulté, en négligeant les doubles signes puisque cela revient à changer le sens des axes posîlifs,
Q a*cos0 /. . A 6* sin 9
x=C cos 9h — y=Csin0 4-
|/a«cos«0-+-6«sin«0 |/a* cos* -t- 6* sin» 9
L'élimination de entre ces deux équations conduira à l'équation des développantes. On en déduit sans peine
(x — C cos 0)* (y — C sin 0)« 1 =i,
Si Ton suppose C = 0, cette équation devient celle de Fellipse
-«-^si=^'
qui est conséqucmment une des développantes de la courbe donnée. On peut remplacer les deux équations ci-dessus par celles-ci :
c/*cosô . . fe*sin0
x=Ccos9 M
, t/=Csin9-t-
xcosQ-i-^sinô — C ^ ^ ' a7cos0 -+- t/sin 6 — C
En considérant 9 comme une vpriable auxiliaire, et C comme un paramètre arbitraire, ces deux équations représenteront toutes les courbes parallèles h l'ellipse ci-dossus.
377. Courbe de poursuite. — On appelle ainsi la courbe plane décrite par un point M (x, y) qui se dirige, avec une vitesse constante, vers un antre point M' (a', i/') qui décrit une courbe donnée avec une vitesse également constante. Les axes étant rectangulaires, les conditions que la tangente à la courbe tracée par le point M passe à chaque instant par le point M', et que le rapport de la vitesse du premier à celle du second soit égal à une constante ;?, s'expriment par les équations
Supposons, pour fixer. les idées, que le point M' décrive une droite a;' = a, parallèle à l'axe des y, et que le point M parte de l'origine à l'instant où M' quitte l'axe des x. Les équations (S) deviennent
\/ dx'* dx '■
éliminant dy' par la dilTércntialion de la première, on a
On fera (n*» 552) dy^pdx^ et l'on aura dp dx
