p'h[/TTp^) = \.{a — x
d'où
Au départ, la vitesse du point M est dirigée suivant l'axe des a: ; on a
donc à la fois x= 0, p = 0, d'où C = a", et par suite
dx 2 L\a —xj \ a / J Une nouvelle intégration donnera, si n n'est pas égal à i,
et comme jr et y sont nuls ensemble,
an 1 — ;i*
Si n était égal à l'unité, c'est-à-dire si les mobiles avaient des vitesses égales, on trouverait
2a pour l'équation de la courbe de poursuite.
Exercices.
i. Chercher la courbe dont la sous-tangente est une fonction f (ac) de Tabscisse.
dx
Cas particuliers : f (oc) = oj ; f (r) = x^.
9. Chercher la courbe telle que la portion de Taxe des y entre Torigine et la tangente soit proportionnelle au rayon mené de Porigine au point de contact.
»■ '=i[cr -©'■]-=
const. arhtlr.
3. Les distances de Porigine aux points où la tangente coupe Taxe des y et où la normale coupe Taxe des x sont dans un rapport constant a. Trouver la courbe.
R. L'équation dilTérenlielle est ydx — xdij=:a (xdx -h ydy). On trouve la spirale
logarithmique
l.l/l?+V=:C~aarctg- ou r=Ce " .
4. Les inclinaisons ^ et 6 de la tangente et du rayon vecteur sur l*axe des x sont liées par Téquation 2^) — 4ô = 7r; trouver la courbe.
R. a?' -h y* — Ca; = 0; (cercle passant par l'origine et ayant son centre sur l'axe des x).
ft. La distance de Porigine au point où la tangente coupe I*axe des a; est V^ax, ou
— 9 X étant i^abscisse du point de contact; trouver la courbe.
R. lo
2» (x — o) (y — C) = oC ; hyperbole.
•. L'aire de la courbe, comptée de Paxe des y jusqu*à Pordonnée du point (a?, y), a pour expression ay — 6a?, a et 6 étant constants; trouver la courbe.
V. Le rayon vecteur est proportionnel au cube de la distance du centre à la tangente (r=aP') ; trouver la courbe.
R. Elle a pour équation, en coordonnées polaires,
i î 2 o'r' cos = 6= 1.
». L'arc et Pordonnée sont liés par la relation «=V/y* — o*j trouver la courbe. R. On trouve la chaînette
9. L*arc et Pabscisse sont liés par Pune des relations suivantes :
« = al.a;; 8*=z4tax*j 8«»==27a«*;
trouver la courbe.
2« «= - (1 — cos «), y = ô (w -*- sin «) (cycloïde).
3o aî5-*-y5 = o5 (ch. Xlir, ex. 2).
iO. La projection de la normale terminée à Paxe des x, sur le rayon vecteur, est une constante a; trouver la courbe.
R. r= . :: (sections coniques).
1 — C cos
il. Trouver les trajectoires orthogonales des paraboles
a;* = a* — 2ay.
R. On obtient
fi étant un paramètre variable. On en conclut que les trajectoires font partie du système donné, les paraboles pour lesquelles a est positif coupant à angle droit les paraboles pour lesquelles a est négatif*
f t. Trouver les trajectoires orthogonales des coniques homofoealet
c étant donné.
R. On trouve, pour Péquation diiFérentielle des coniques données,
dy* ac* — y* — c* dy
da^ xy dx
Par un même point du plan, passent deux courbes correspondantes aux deux valeurs
de --, et comme le produit de celles-ci est — 1, ces courbes se coupent à angle droit.
ox
Le système des coniques données comprend donc ses propres trnjectoires orthogonales : a*'^(^ donne des ellipses, a'<c* des hyperboles; ces ellipses et ces hyperboles se coupent à angle droit, ce qu'il est facile de vérifier géométriqncment. IS. Trajectoires orthogonales des hyperboles
a^ y* ar or
R. y*H-ac«— 2aM.aî=C.
