MÉTHODE INFINITÉSIMALE
37. D'après ce que Ton a vu plus haut (18), la méthode infinitésimale consiste à établir les relations qui existent entre des grandeurs quelconques, en les considérant comme limites de rapports, ou comme limites de sommes, d'autres quatitités variables qui ont pour limite zéro, et entre lesquelles il est plus facile d'établir la comparaison,
La rigueur, la fécondité et la simplicité de celte méthode dépendent surtout de deux propositions générales que nous allons établir^ après avoir posé quelques définitions.
On appelle quantité infiniment petite, ou simplement infiniment petit, toute quantité variable qui a pour limite zéro.
Ainsi, dans le problènae des tangentes (18, 2**) h ci k sont des quantités infiniment petites; dans celui des aires (18, 5°), les parallélogrammes tels que MPP'K sont des infiniment petits, etc.
De même, lorsqu'une quantité variable reçoit des valeurs indéfiniment croissantes^ en sorte qu'elle finit par dépasser tout nombre donné, on dit qu'elle devient infiniment grande, ou qu'elle a pour limite l'infini.
Enfin, lorsque le rapport d'une quantité variable à une autre tend vers la limite zéro, la première est dite infiniment petite par rapport à la seconde.
2S. Théorème I. — >La limite du rapport de deux quantités infiniment petites a et ^ n'est pas changée, lorsqu'on remplace ces quantités par d'autres a! et (3', pourvu que les rapports des premières à celle-ci aient respectivement pour limite l'unité, c'est-à-dire, que l'on ait
lim — = 1 , lim ï: =1 .
ce C^
En désignant par jo, jo' les rapports ^^ , ^ , on a
Les deux termes de ce rapport ayant pour limite l'unité, le rapport lui-même a pour limite l'unité, donc
lim ^ =: i , lim p = lim p\
ce que nous voulions établir.
L'observation suivante facilite souvent l'emploi de ce théorème. Soient a, a' deux infiniment petits dont le rapport a pour limite l'unité; e une quantité comprise entre a et a', en sorte que l'on ait
Divisant par a ces inégalités, on a
oc CL
et comme, par hypothèse, lim — = i , le rapport - reste compris entre
ot, ce
l'unité et une quantité variable qui s'approche indéfiniment de l'unité : il a donc lui-même pour limite i. On a donc
lim -- = i , lim - = 1 .
Si a était négatif, la division par a' changerait le sens des inégalités, mais non la conclusion.
Exemple : On montre, dans la trigonométrie, que la longueur de l'apc est toujours comprise entre celles de son sinus et de sa tangente. Soit a un arc infiniment petit, on a donc
a == M (sin a,, tga).
Or
sin a
= cos a ,
tga
dont la limite est l'unité quand a tend vers zéro. Donc, les rapports
sm a tang a
ont pour limite Tunitë, ainsi que leurs réciproques. Ainsi, dans tout rapport dont un des termes sera Tune des quantités infiniment petites» , sÎQ A, tg a, on pourra la remplacer par Tune des deux autres, sans que la limite du rapport proposé soit nullement altérée.
•5t9. Thjêoréme II. — La limite d'une somme de quantités infiniment petites de même signe, dont le nombre croit indéfiniment, n'est pas changée lorsqu'on remplace ces quantités par d'autres, pourvu que les rapports des premières à celles-ci aient respectivement pour limite l'unité.
Soient ai, as,.., (Xm des infiniment petits de même signe; (3i, (3<,.., (3» d'autres infiniment petits, tels, que les rapports
ai as ccm
Fi' f*""' '^^
tendent vers Funité lorsque m croit jndéûniment. D'après une proposition connue, on a (1)
ai -H «s -♦-•••■♦- am \t ( ^^ ^* ûti»\
et tous ces rapports convergeant vers l'unité, le premier membre a pour limite l'unité ; ce qui exige évidemment que l'on ait
/iin(ai -*- as H h am) = K»n((3i -*- j3s h 1- (3m).
Si l'une des deux sommes était constamment égale & une valeur fixe A, l'autre aurait pour limite cette quantité A.
SO. Les deux propositions précédentes peuvent s'énoncer d'une autre manière, eu égard à la remai*que qui suit :
Théorème 111. — Lorsque deux infiniment petits a. et a' ont pour limite de leur rapport l'unité, leur différence $ est infiniment petite par rapport à chacun d'eux, et réciproquement.
En effet, l'équation
peut s écrire :
et le second membre ayant pour limite zéro par hypothèse, il en est do même du premier; donc d est infiniment petit par rapport à a' (27).
-nnnue ,
C2x -f- A) + 2 sin- fc . cos - (2y -♦- fc) = 0.
cos
cos
application du premier théorème : A et A: étant infini-
eut remplacer sin-A par -A, sin -& par -rk^ sans
iu rapport; donc
COS. „ . ^.-
k ,. V 2 y cos a;
A / i ,\ cosw
cos •--•'-* «^
(^-^--aO
cosx cosj^
■rient angulaire cherché, ce qui suffit pour déterminer la courbe, au point (x, y).
•le très-simple nous conduit à une conclusion importante :
l'expression générale du coefficient angulaire r que si, au
réquation d'une courbe, on savait déterminer d'une manière
• partir d'une yaleur quelconque de l'abscisse, la limite du rap-
iccroinements infiniment petits A et A:, on saurait aussi mener
;c en un point quelconque de la courbe. Or, en vertu de l'équa-
ne de k courbe, l'ordonnée est une fonction déterminée de
- ; nous sommes donc conduits à nous poser ce problème d'analyse :
tniner la limite du rapport des accroissements infiniment petits
ondantê d*ûne fonction et de la variable dont elle dépend, à partir
aleur quelconque de cette dernière.
problème est proprement l'objet du cakul différentiel, mais sa solu-
cmbrassera celle de beaucoup de problèmes, autres que celui des
.^ntes.
39. Livntes de sommes. Reprenons ta question de l'aire comprise entre une courbe, l'axe des x, el deux ordonnées AB, A'B' de cette courbe (18, 5°). Après avoir, comme nous l'avons dit, partage cette aire en segments MPP'M' par des parallèles k l'axe I des y, l'évaluation de ces segments curvilignes offrirait les mêmes difficultés I que celle de l'aire ABB'A' elle-même.
I Mais si, par les sommets M des ordon- I nées, on mène des parallèles MK k l'axe I des x, on pourra, lorsque l'on fera ten- I dre vers zéro les divisions PP' de la base ', substituer aux éléments MPP'M' de ' l'aire de la courbe, les parallélogrammes infiniment petits MPP'K, sans que la limite de leur somme soit altérée par cette substitution , car le rapport des aires MPP'M', MPP'K a pour limite l'unîlé. En effet, menons par le point M', M'R' égal et parallèle à MK; les parallélogrammes MPP'K, R'PP'M', de même base PP', sont entr'eux comme leurs côtés MP, M'P", dont le rapport a évidemment pour limite l'unité quand P' se rapproche indéfiniment de P. Le rapport des aires MPP'K, R'PP'M' tend donc vers l'unité; l'aire MPPTH', comprise entre les deux précédentes (car PP' étant infiniment petit, on peut supposer que l'ordonnée varie toujours dans le même sens entre H et Sf), a donc avec chacune d'elles un rapport qui a pour limite l'unité.
Ainsi, comme conséquence du second théorème fondamental, i'airc cherchée ABB'A' peut être considérée comme la limite de la somme des aires des parallélogrammes MPP'K, construits sur les ordonnées de la courbe, et sur les accroissements infiniment petits correspondants de l'abscisse.
Soit, par exemple, à évaluer l'aire de la courbe
entre deux ordonnées correspondantes k x^a, x=b. Divisons la portion 6 — a de l'axe des a: en m parties égales à «, d'où
6 — a^ma; les ordonnées correspondantes aux points de division seront
la somme des aires des rectangles inscrits aura donc pour expression
Taipe cherchée S est la limite de cette expression, m croissant à Tinfîni et a tendant vers zéro : il suffit donc de trouver la limite du rapport
d'infiniment petits
en posant
Op, ceci donne
d'où
(5- fi
cl comme, ^ étant infiniment petit, le second membre a pour limite Tunité
(26), on a
lim 1 = i .
De là nous tirons
pour l'expression de Taire demandée. On remarquera qu'elle a pour mesure la différence des ordonnées qui la terminent.
On calculerait par des considérations analogues Taire d'un segment papabolique, circulaire, elliptique, etc. (0
SI. Comme dernier exemple, calculons le volume engendré par une surface plane, tournant autour d'une droite fixe située dans son plan. Le parabole qui a pour équation
tournant autour de son axe, engendre un paraboloïde de révolution. Par
(ODcHAMEL, Éléments de calcul infinitésimal, ch. Vlll.
un point A de l'axe, menons un plan perpendiculaire k l'axe ; c'est 1»1 volume compris entre ce plan et la surface qu'il faut évaluer.
Pour cela, partageons la distance OA = oss du sommet au plan sécant, en m parties^ égales et infiniment petites a, i'où
ma=a, a=— .
Par les points de division P, P*,.. menonse des plans perpendiculaires h l'ase : le vo — lumc sera partagé en tranches infiniment J minces MNN'M'. Pour nous débarrasser de s la portion difficile à évaluer dans chacune c de ces tranches, nous ferons voir, par un raisonnement tout semblable s à celui qui nous a servi dans la mesure des aires, que l'une quelconque s d'entr'elles, MNN'M', peut être remplacée par le volume du cylindre s MNSQ, qui a pour hase le cercle engendre par l'ordonnée HP de la para- bole, et pour hauteur la distance PP'=:ec de deux plans sécants consé- cutifs. La limite du rapport des volumes de la tranche et du cylindre est, en effet, égale à l'unilé, lorsque a tend vers zéro. Nous aurons donc, en désignant par x, y les coordonnées du point M, par i le nombre des divisions a comprises dans OP,
I = OP = ta, y' = 2pj= ipia, vol. MNSQ = 7ty .a = 7r- 2/>ia* = 2jrpa*-^.
Faisant successivement t'^l, 2,..., m — 1, dans cette formule et ajoutant, nous aurons la somme des volumes de tous les cylindres inscrits, somme qui, d'après le 2™ théorème, a pour limite le volume V cherché, lorsque l'on fait croître m indéfiniment.
Donc
... m(m — I) = 2irpa' hm — -
ou enfin, en désignant par 6 le rayon AB de la section terminale, et observant que l'équation de la parabole donne b* = 2pa,
On peut donc dire que le volume du segment de paraboloïde de révo^ lution est la moitié du volume du cylindre, de même base et de même hauteur,
11 serait facile de multipJier ces exemples; ainsi, on ferait voir que le volume d'un cylindre droit, à base quelconque, a pour expression le produit de sa base par sa hauteur, en le décomposant en tranches infiniment minces par des plans parallèles aux génératrices, et prouvant que ces tranches peuvent être remplacées par des parallélipipèdes; etc.. Mais le but des exemples ci-dessus étant simplement de faire saisir l'esprit de la méthode infinitésimale^ et de préparer aux méthodes de calcul qui permettront de résoudre ces questions bien plus facilement, nous conclurons par quelques remarques importantes.
Remarques. 1"* Dans les questions traitées ci-dessus, nous avons, sans altérer l'exactitude des résultats, remplacé les infiniment petits qui faisaient la difficulté de la question par d'autres plus simples ; mais ceux-ci auraient pu être choisis différemment. Ainsi, dans le calcul de l'aire d'une courbe, on peut substituer à volonté, aux éléments de la courbe, soit les parallélogrammes intérieurs MPP'K, ou extérieurs K'PP'M', soit les trapèzes inscrits PMM'F, etc.. Il suffit toujours que les quantités négligées soient infiniment petites par rapport à celles dont on cherche la limite du rapport, ou de la somme : pour le reste, le choix est arbitraire, et l'on doit se régler sur la facilité des calculs. ^ Dans la mesure de l'aire de la courbe
nous avons été conduits à faire la somme des ordonnées des différents points de la courbe, multipliées respectivement par l'accroissement infiniment petit de l'abscisse quand on passe d'un point au suivant; puis, à chercher la limite de cette somme. La même opération se présenterait évidemment quelle que soit la courbe. Or, l'ordonnée d'une courbe, comme on l'a vu, est une fonction de l'abscisse; nous sommes donc amenés à ce second problème d'analyse :
Trouver la limite vers laquelle converge la somme des valeurs successives d'une fonction, multipliées respectivement par les accroissements infiniment petits correspondants de la variable dont elle dépend; celle-ci étant supposée passer d'une valeur donnée a à une valeur donnée 6.
Dans le calcul du volume du paraboloïde, on doit résoudre la même question : la fonction est tti/*.
Ce problème appartient au calcul intégral, et nous verrons d'ailleurs qu'il présente, avec celui qui fait l'objet du calcul différentiel, une liaison remarquable.
§ 7. DES DIVERS ORDRES d'iNFIMMENT PETITS
34. Lorsque, dans une question, l'on a à considérer plusieurs infiniment petits dépendants les uns des autres, et tendant tous simultanément vers la limite zéro, il y a encore lieu à classer ces quantités dans des ordres différents, d'après les limites de leurs rapports mutuels.
On dit que deux infiniment petits sont de même ordre, lorsque leur rapport tend vers une limite finie, différente de zéro.
En général, on considère comme infiniment petit principal l'un de ceux du problème, et on lui rapporte tous les autres : désignons-le par a, et soit r un nombre entier ou fractionnaire.
Tout infiniment petit dont le rapport à ar a pour limite une quantité finie, différente de zéro, se nomme un infiniment petit de l'ordre r.
D'après cette définition, soit p un infiniment petit de Tordre r; k une quantité finie quelconque, différente de zéro; co une quantité tendant vers zéro avec a; on a
lim^ = k^ d'où i-=fc-+-co, et par suite
Tel est le type d'un infiniment petit de l'ordre r par rapport à a. Si r=i,
p = a(fc-f-w)
est du premier ordre; ou, ce qui revient au même, p est du même ordre que a.
35. Partant de là, on peut établir sur les infiniment petits de divers ordres plusieurs propositions d'un usage fréquent. Soient p, p', p",... divers infiniment petits; r, r', r",... les nombres qui expriment leurs, ordres respectifs, rapportés à un même infiniment petit a; et soient r^^r" <:ir"...
1° Z>e deux infiniment petits p et p', celui qui est de l'ordre le plus élevé est infiniment petit par rapport à l'autre (27).
On a en effet, d'après la formule ci -dessus,
et, r' — r étant > 0, le rapport i- tend vers zéro en même temps que a;
donc p' est infiniment petit par rapport à p.
Il suit de là que la valeur numérique de p' finit par devenir très-petite vi&4-vis de celle de p, et qu'ainsi
2* De deux infiniment petits d^ordres différents par rapport à un même infiniment petit principal, celui qui est de l'ordre le plus élevé finit par avoir constamment la plus petite valeur absolue.
5* La somme p -♦- p' -♦- p" h — est un nouvel infiniment petit de l'ordre r.
Car
et, d'après ce qui précède, ^, r^'" ^^^ infiniment petits, tandis que
•^ tend vers une limite finie : le premier membre tend donc vers une limite
finie, ce qui démontre la propriété.
4*» Le produit pp' est un infiniment petit de l'ordre r^^r' par rapport à a. On a en effet
et le second membre est le produit de deux facteurs qui tendent vers des limites finies différentes de zéro, d'après la définition : donc, le premier membre a aussi une limite semblable, G. Q. F. D.
On conclut de là, sans difficulté, que le produit pp'p" serait un infiniment petit de l'ordre r -k-r' '\' r"; et ainsi de suite. La multiplication d'un infiniment petit par un facteur fini ne change pas l'ordre du produit.
5"* Le rapport — de deux infiniment petits est un infiniment petit de
k' -♦- w' tordre r' — r, car sa valeur (d"), divisée par a*^"^, se réduit à -= ,
dont la limite y est finie et différente de zéro.
6' Si l'on prend un nouvel infiniment petit principal |5, de même ordfc^' tfue te premier a, Cordre infinitésimal des autres ne sera pas changé. Soit, en effet, p un înfiuiment petit de l'ordre r par rapport k a; oa.
Or, -^ tend vers une limite finie dilTérentc de zéro: ? est dans le méme^
cas, par supposition, et aussi [ ô ) î '^ second membre tend donc vcr^s
une limite finie, et par conséquent le premier.
Cette propriété est utile dans les cas où l'on est amené à cfaenger d'în-— finiment petit principal.
36. Exemples d'infiniment petit» de divers ùrdres. Pour éclaircir par des exemples ces considérations abstraites , soit ABC un triangle rectangle dans lequel l'Iiypothénuse a.
est infiniment petite, et l'angle C du premier ordre en prenant a comme infinimenl petit principal. Cherchons l'ordre infinitésimal des autres côtés P et y. Nous aurons
^ = acosC, C=cosC, lim^=i,
ainsi (3 est du premier ordre.
Ensuite
y = asinC; .
or, un arc infiniment petit et son sinus sont toujours de même ordre, puisque la limite de leur rapport est l'unité (28); donc sin C est du pre mier ordre, et y, étant le produit de deux infiniment petits du premier ordre, sera du second ordre.
Réciproquement, si un côté y du triangle rectangle est du second ordre, l'hypothënuse étant du premier, l'angle opposé C sera infiniment petit du premier ordre, à cause de la relation
sinC==ï^-
Abaissons, du sommet A de l'angle droit, AD perpendiculaire sur l'hypothënusc :
AD = |3smC, BD = ycosB = 7sinC; donc AD est du second ordre, BD du li-oisième, par rapport k l'hypothénuse a; etc.
Considérons encore le même triangle ABC, mais supposons à rhypotfaéouse a une longueur finie quelconque, constante ou variable, l'angle C étant infiniment petit du premier ordre. La relation
bit voir que p a une grandeur finie ; mais la différence o(|3 = a(l — cosC)==2a9in' j.
sera du second ordre, puisque sin - est du premier. Donc, si l'on pro-
jeHe une droite finie sur une autre qui fait avec elle un angle infiniment ^M^ ta différence entre la droite et sa projection est du second ordre,
tftjÊ^MTt à l'angle compris.
Cette remarque est souvent utile ; la suivante ne l'est pas moins : Un ■'éiigb X étant projeté sur un plan, qui fait avec le plan de l'angle X un mgle infiniment petit, la différence entre l'angle X et sa projection est du second ordre par rapport d Cinclinaison a des deux plans.
Soient BAC = X l'angle donne, B'AC' = X' I sa projection, AD Tintcrscction des deux plans, >B' un plan perpendiculaire à AD et coupant les deux plans suivant des droites BD, B'D qui font cntr'cUes l'angle a. En désignant par A, A' les angles CAD, CAD, nous aui-ons, les triangles CAD, CAD étant rectangles en D,
,, CD CDcosa lgA=™ = -^=,BAcos«,
. ,v ■ 'g A (■! — cos «) 2 tg A . , a .
et comme A — A' est infiniment petit, on peut, en négligeant des quantités d'ordre supérieur, écrire
A — A' ^ , — =-;-7 sin' - = sin 2A sin' ^ ■ 1 -H tg* A 2 2
En appliquant le même raisonnement aux angles BAD, B'AD, on aur de même
(A ^ X) — (A'^ X') = sin 2 (A -^ X) sin» | ,
et d'après l'équation précédente
X — X'= [sin 2 (A -f- X) — sin 2A] sin« ^,
ou enfin
X — X' = 2 sin X eos(2A -*- X) sin« |
Les termes négligés n'altérant cette expression que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, X — X' est bien du second ordre par rapport à a, comme nous l'avons annoncé. Cela a lieu quel que soit l'angle X; mais s'il était infiniment petit, l'équation montre en outre que la différence entre cet angle et sa projection serait infiniment petite par rapport à Fangle X lui-méine, car sin X est de même ordre que X, et
sin' - tend vers zéro par hypothèse. Si X et a étaient du premier ordre,
X — X' serait du troisième 0).
(i) L*application de la méthode infinitésimale à Pétude des propriétés géométriques, indépendamment de Talgorithme différentiel, n'entre pas dans le plan de cet ouvrage. Néanmoins, comme c*est là un excellent exercice, nous indiquerons aux lecteurs les les écrits suivants : Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, ch. YIII à XXI. — Bektrakd, Calcul différentiel, ch. I. — Ruchonnet, Exposition géométrique des propriétés générales des courbes, Lausanne, 1866. — Divers travaux de M. A. Mannheim, dans le Jouirai de l'Ecole polytechnique^ les Annales de Tortolini, etc.
