DE LA CONTINUITÉ DES FONCTIONS, ET DE LEURS DÉRIVÉES

37. Désignons par f (x) une fonction de la variable x^ que nous supposerons réelle pour toutes les valeurs de la variable x comprises entre deux valeurs données x = a et x == 6. Si nous concevons que la variable passe successivement par toutes les valeurs depuis x = a jusqu'à x = 6, et si alors la fonction f (x)^ conservant toujours une valeur finie, ne peut passer d'une valeur quelconque à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, nous disons que cette fonction est continue par rapport à x depuis x = a jusqu'à x = 6.

La représentation géométrique donne une idée très-nette de la conti-

nuilé des ronctions : prenons a; pour l'abscisse, î(x] pour IVtrdonnéc cor**-* respondnntc d'une courbe plane ; cette courbe présentera, entre les point9 * P et Q qui répondent aux abscisses a ei ^»

/(, un Irait (oiilinu cl sans interruption. <^ La définition de la contiuuité donne» m.

lieu à quelques remarques. 1> Pouima:

chaque valeur attribuée h la variable x^.'^k la valeur de la fonction t{x) se déduiKst générulemcnt de sa définition mêmes :

touterois, il y a des fonctions telles quCj^f pour certaines valeurs de x, l'opératioiifs par iuqueilc on calcule généralement Ja valeur de la fonction conduit i&

un résultat qui n'a aucun sens, comme ^, O-oo, etc. Dans ce cas, om<

suppose que x tende indéfiniment vers une des valeurs particulières dont^^ il s'agit, x=Xo; on cherche la limite vers laquelle converge en mèriK»M. temps la valeur de î{x), et cette limite, si elle existe, est regardée comm»f la valeur de la fonction répandant à x^xo. Cesl ainsi qu'en algèbre I^i fonction A', qui pour x = prend la forme insignifiante A*, est dit»J égale à l'unité dans ce cas, l'unité étant la limite de A* lorsque x a pouc k

limite zéro. De même, la fonction (1 -h x)' est égale à e pour 3:=0.

Il peut arriver que l'on trouve deux limites différentes, donc deu^c^ valeurS'dc f (x) pour x=Xo, selon qu'on suppose i> Xo ou x <Xo-

2° Une fonction peut admettre plusieurs valeurs pour chacune dc^^ valeurs de la variable dont elle dépend : tel est le cas, par exemple, d'un^^ fonction y de x, définie par une équation algébrique d'un degré supérieur' au premier en y. La fonction est dite alors à (iétermination multiple. Dans ce cas, il est bien entendu que pour appliquer Ji une telle fonction, les notions et tes propriétés qui résultent de la continuité, on devra isoler les différents systèmes de valeurs, et ne considérer simultanément que les valeurs enchaînées les unes aux autres par la loi de continuité.

3* D'après notre définition, une fonction peut cesser d'être continue, pour une valeur particulière de la variable, soit en devenant infinie,

comme la fonction tang x pour x = -j soit en devenant indétermijtée, comme la fonction sin- pour x = (car elle oscille indéfiniment entre

— i et -*- 1 sans tendre vers une limite fixe lorsque x tend vers zëro) ; soit en passant brusquement d'une valeur à une autre lorsque x atteint

Ravaleur en question, comme la fonction e ' pour x = 0. Dans ces <iifféi*ents cas, on dit que la fonction devient discontinue pour la valeur de X dont il s'agit.

Enfin, si la fonction est continue entre deux valeurs de x qui comprennent une certaine valeur a;o, quelque rapprochées qu'elles soient, OQ dit que la fonction est continue dans le voisinage de x = xo,

S8. Toute fonction continue jouit d'une propriété remarquable, qui peut servir aussi, soit à définir, soit à constater la continuité. Concevons <iu'ane fonction f (x) soit continue entre deux valeurs a et 6 de la vanable, et soient x, x-^h deux valeurs comprises dans cet intervalle, h étant infiniment petit. Il est clair que la différence des valeurs corresponliantes de la fonction,

sera infiniment petite en même temps que h. En effet, si la différence entre f{x-*-h) et f(x) ne décroissait pas au-dessous de toute grandeur donnée lorsque h tend vers zéro, il en résulterait que la fonction passerait brusquement d'une valeur à une autre en x, et ne serait pas continue. La figuration géométrique de la fonction met d'ailleurs ce fait en évidence.

Au moyen de cette propriété, on peut facilement s'assurer de la continuité des fonctions simples, des fonctions composées, et reconnaître iusqu'à quelles valeurs de la variable s'étend la continuité de ces fonctions. Ainsi les fonctions x"*, m étant entier et positif. A', sin x, sont continues depuis x = — oo , jusqu'à x= -4- « ; car on a, par exemple,

et comme A* tend vers l'unité quand h tend vers zéro, cette différence est infiniment petite avec h, quel que soit x; la fonction -^ est continue, sauf

pour x=:0 qui la rend infinie; et ainsi des autres fonctions.

39. Les définitions et les principes relatifs à la continuité s'étendent, sans difiîculté, aux fonctions de plusieurs variables. Ainsi une fonction

f (X; y, z), supposée d'ailleurs constamment réelle entre deux valeurs données de chaeune des variables Xy y, z, est dite continue par rapport à ces variables entre les valeurs dont il s'agit, lorsqu'elle reste toujours finie et ne varie que par degrés insensibles, tandis qu'on fait varier ne, y, z par degrés insensibles sans sortir des limites assignées par les valeurs données. Ainsi les fonctions

X* -4- y* -♦- 2*, xyzy sin {x -§- y), sont continues entre des valeurs quelconques des variables; la fonction

— également, sauf dans le voisinage de z=0, etc., etc.

Il résulte de là que, hj k, l désignant des accroissements infiniment petits de Xy y, Zj la quantité

f (x -*- A, y -f- fc, jî -♦- /) — f (x, y, z)

sera infiniment petite, si Xj y y z sont compris dans les limites de la continuité de la fonction. En d'autres termes, si l'on fait tendre les variables Xj y, z vers des limites a, 6, c, la fonction î{x, y, z) s'approchera indéfiniment de f{a, b, c), puisque la différence

doit être infiniment petite avec x^^a, y — 6, etc. Nous avons déjà utilisé cette propriété des fonctions (17).

Pour ce qui concerne les valeurs-limites, les fonctions à détermination multiple, les discontinuités qui peuvent se présenter dans les fonctions de plusieurs variables, nous renverrons à ce qui a été dit plus haut des fonctions d'une variable unique 0).

40. Les fonctions continues jouissent d'une autre propriété bien remarquable, et sur laquelle repose toute la suite de ce cours.

Soit y =:f(x) une fonction de la variable x; si, partant d^une valeur quelconque de x comprise dans l'intervalle où la fonction est continue,

(i) Nous ne pouvons qu^indiquer ici cette importante théorie de la continuité des fonctions. Le lecteur désireux d'approfondir ce sujet pourra consulter Nbumann, Vorlesungen uber Riemann's Théorie der Abelschen Intégrale, â*»* leçon ; et Gasorati, Teorica délie funzioni di vanabili complesse^ pp. 190-209.

nous donnons à la variable un accroissement infiniment petit Ar^ Taccroissemenl correspondant de la fonction,

At/==f(x -+- Ax) — f (a:),

sera lui-même infiniment petit, d'après ce que nous avons vu (58). Mais

de plus, ces infiniment petits seront généralement de même ordre, c'est-

Ay à-dire que, quand Ax et Ay tendent à la fois vers zéro, leur rapport ■—

tend généralemefit vers une limite finie, déterminée et différente de zéro,

sauf pour des valeurs isolées et exceptionnelles de la variable x.

C'est ainsi que nous avons trouvé, pour la fonction y définie par

rëquation

sin X -*- siny = a,

la relation

, . fc cos X

tim r = j

h cos y

h cik étant précisément les quantités que nous désignons ici par Ax et Ay.

La démonstration complète du théorème général que nous venons d'énoncer offrant quelque difficulté, nous ne la donnerons pas ici (v. note II), et nous admettrons le théorème comme un fait, qui sera d'ailleurs vérifié par la suite.

Cette limite du rapport Ay : Ax dépend d'ailleurs évidemment de la valeur de x à partir de laquelle raccroissement est donné; elle est donc variable, en général, avec x, et en est une fonction déterminée^ comme on le voit dans l'exemple ci-dessus. Nous appellerons cette fonction la dérivée de la fonction f (x), et nous la désignerons par f (x), en sorte que l'on aura

Ax Ax

On démontre encore (v. noje II) que la fonction f (x) est elle-même généralement continue par rapport à x en même temps que f(x), sauf pour des valeurs isolées et exceptionnelles de x, où elle peut devenir infinie, ou indéterminée, ou passer brusquement d'une valeur h une autre qui en diffère d'une quantité finie. Ces discontinuités de la dérivée répondent à des singularités que présente la direction de la tangente, en certains points de la courbe donnée par l'équation

car, d'après ce qui a été établi plus haut, le coefficient angulaire de la tangente en un point de la courbe a pour expression la dérivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse, au même point.

41 . Nous pouvons établir des à présent quelques propriétés remarquables de la dérivée d'une fonction en nous aidant de la notation suivante : nous désignerons par

une moyenne entre toutes les valeurs successives par lesquelles passe une fonction (p{x), lorsqu^on fait varier x d'une manière continue depuis la valeur a jusqu'à la valeur (3.

I. Concevons que, Ax et Ai/ représentant des accroissements finis correspondants de x et de y, on fasse passer la variable de la valeur x, à la valeur x-t-Ax, par une suite d'accroissements de même signe Ai, /^sv) hml et soient A:i, As,..., km les accroissements correspondants de y, en sorte que

Ax= Al -♦- As -♦- • • • -*- hm, Ay = Al •+- As -«- ••••+-/:,

On a, comme on sait,

Ay kl -t- fcs

l'fi»

Ax Al -t- As -t- • • • -4- Am

et cette égalité subsiste quel que grand que soit le nombre m des subdivisions Al, As,... Or, quand ce nombre m croît indéfiniment, tous les

éléments Ai, As,... hm tendant vers zéro, les rapports —^ —v? 7^

Al As hm

ont évidemment pour limites respectives les différentes valeurs que la dérivée f (x) comporte entre les valeurs x et x -t- Ax de la variable, et puisque l'équation ci-dessus ne cesse jamais d'avoir lieu, on a, à la limite,

Aw ,,a;+Aaî

Ainsi, le rapport des accroissements simultanés de y et de x est une moyenne entre toutes tes valeurs par lesquelles passe la dérivée de y par rapport à x, lorsque la variable parcourt dhme manière continue Vintervalle compris entre sa première et sa dernière valeur.

Il faut remarquer que cette équation (1) ne suppose aucune condition de continuité dans la dérivée {'(oc).

II. Une quantité constante, c'est-à-dire indépendante de x, ne varie pas quelque valetir qu'on attribue à x ; sa dérivée est donc constamment nulle. Réciproquement, une fonction dont la dérivée par rapport à x* est nulle quel que soit x, se réduit nécessairement à une constante : car il suit de l'équation (1) que si f'(x) est constamment nul entre deux valeurs a et 6 de x, Ay sera aussi constamment nul, quel que soit x, pour un accroissement Ax de la variable ; y reste donc invariable lorsque x varie et ne peut être fonction de x.

III. Si f'(x) conserve le même signe pour toutes les valeurs de la variable comprises entre deux limites très-rapprochées x, x -h Ax, ce signe sera aussi celui du rapport Ay : Ax, d'après (i). Donc, tant que la dérivée r(x) reste positive, les accroissements Ax, Ay sont de même signe, c'est-àdire que la fonction f (x) varie dans le même sens que sa variable. Au contraire, tant que la dérivée r(x) reste négative^ Ay est de signe contraire à Ax, ce qui fait voir que la fonction décroit lorsque la variable croit y et vice-ver sa.

IV. Quand les deux membres d'une équation sont fonctions d'une même variable x, et que l'équation a lieu indépendamment de toute valeur particulière attribuée à x, un accroissement infiniment petit donné à x détermine des accroissements égaux des deux membres de lequation : d'où l'on conclut sans peine que les dérivées de ces deux membres, considérés comme fonctions de x, sont constamment égales quel que soit x.